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2025湘教版数学必修第一册
2.3　一元二次不等式
2.3.1　一元二次不等式及其解法　
2.3.2　一元二次不等式的应用
A级 必备知识基础练
1.不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|x≥1,或x≤-6}
C.{x|-6≤x<1}
D.{x|x>1,或x≤-6}
2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a≤-4,或a≥4}
B.{a|-4≤a≤4}
C.{a|a<-4,或a>4}
D.{a|-43.[2024甘肃白银高一校考期末]已知p:2a+3<0,且q: x∈R,x2-(2a-1)x+1<0为真命题,则p是q的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.若m,n∈R,且m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集为(　　)
A.{x|x<-n,或x>m}
B.{x|-nC.{x|-mD.{x|x<-m,或x>n}
5.(多选题)不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},对于系数a,b,c,下列结论正确的是(　　)
A.a+b=0 B.a+b+c>0
C.c>0 D.b<0
6.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:
x -3 -2 -1 0 1
y -10 -4 0 2 2
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为　　　　.
7.已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5.
(1)求函数的解析式;
(2)解关于x的不等式y<4-2x.
8.某小电子产品2022年的价格为9元/件,年销量为a件,经销商计划在2023年将该电子产品的价格降为x元/件(其中6.5≤x≤8.5),经调查,顾客的期望价格为5元/件,经测算,该电子产品的价格下降后年销量新增加了件(其中常数k>0).已知该电子产品的成本价格为4元/件.
(1)写出该电子产品价格下降后,经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式.(年收益=年销售收入-成本)
(2)设k=2a,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2023年的收益比2022年至少增长20%
B级 关键能力提升练
9.不等式x(4-x)<3的解集为(　　)
A.{x|x<1或x>3}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|1D.{x|010.若关于x的不等式x2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m的取值范围为(　　)
A.{m|6C.{m|6≤m<7} D.{m|m>6}
11.若1≤x≤2,不等式x2+mx+m≥0恒成立,则实数m的最小值为　　　　.
12.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
C级 学科素养创新练
13.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R.
(1)若5∈A,求实数k的取值范围.
(2)求不等式的解集A.
(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数 若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由.
答案：
1.C　不等式≥0等价于解得-6≤x<1.故解集为{x|-6≤x<1}.
2.B　因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集,所以方程x2+ax+4=0的根的判别式Δ≤0,因此a2-16≤0,解得-4≤a≤4.
3.A　由题意,p:2a+3<0,即p:a<-.
又“ x∈R,x2-(2a-1)x+1<0”为真命题,所以(2a-1)2-4>0,
即(2a+1)(2a-3)>0,解得a>或a<-,即q:a>或a<-.所以p是q的充分而不必要条件.
故选A.
4.B　(m-x)(n+x)>0,则(x-m)(n+x)<0,因为m+n>0,所以m>-n,(x-m)(n+x)<0的解集为{x|-n5.ABC　由不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2}可得a<0,且ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,由一元二次方程根与系数的关系可知-=-1+2=1>0,所以b=-a,b>0,故A正确,D错误;由=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=1时,a+b+c>0,故B正确.故选ABC.
6.(-1,2)　由表中二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值,得解得
所以y=-x2+x+2.
不等式ax2+bx+c>0化为-x2+x+2>0,
即x2-x-2<0,解得-1所以该不等式的解集为(-1,2).
7.解(1)由题意得x2+mx-6=0(m>0)的两个根为x1和x2,
由根与系数的关系得
故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2+24=25,
解得m2=1,
∵m>0,∴m=1,∴y=x2+x-6.
(2)由y<4-2x,得x2+x-6<4-2x,即x2+3x-10<0,对应方程的两根为-5和2,且对应抛物线开口向上,解得-58.解(1)因为该电子产品价格下降后的价格为x元/件,销售量为(a+)件,每件电子产品利润为(x-4)元,
所以年收益y关于x的函数为y=(a+)(x-4),6.5≤x≤8.5.
(2)当k=2a时,依题意有(a+)(x-4)≥(9-4)a×(1+0.2),
整理得x2-13x+42≥0,解得x≤6或x≥7.
又6.5≤x≤8.5,所以7≤x≤8.5.
因此当实际价格最低定为7元/件时,仍然可以保证经销商2023年的收益比2022年至少增长20%.
9.A　根据题意,原不等式可以变形为x2-4x+3>0,
解得x<1或x>3,
所以不等式x(4-x)<3的解集为{x|x<1或x>3}.故选A.
10.A　原不等式可化为(x-2)(x-m)<0,若m<2,则解得m若m>2,则解得211.-　令y=x2+mx+m,若1≤x≤2,不等式x2+mx+m≥0恒成立,则有Δ=m2-4m≤0,或解得m≥-,实数m的最小值为-.
12.解(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.
由根与系数的关系,得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为 .
13.解(1)由题意(5k-k2-4)(5-4)>0,解得1所以k的取值范围是{k|1(2)当k=0时,不等式化为x-4<0,A={x|x<4}.
当k>0时,不等式化为(x-k-(x-4)>0.
当k>0且k≠2时,因为k+>4,
所以A={x∣x<4,或x>k+};
当k=2时,A={x|x≠4}.
当k<0时,不等式化为(x-k-)(x-4)<0,
A={x∣k+(3)存在k=-2满足题意.
由(1)知,当k≥0时,A中整数的个数为无限个;
当k<0时,A中整数的个数为有限个.
因为当k<0时,k+≤-4,当且仅当k=-2时等号成立,所以当k=-2时,A中整数的个数最少.
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