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2025湘教版数学必修第一册
3.1　函数
3.1.1　对函数概念的再认识
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=的定义域是(　　)
A.[-1,1)
B.[-1,1)∪(1,+∞)
C.[-1,+∞)
D.(1,+∞)
2.下列各图一定不是函数图象的是(　　)
3.在下列关于x,y的关系式中,y可以表示为x的函数关系式的是(　　)
A.x2+y2=1
B.|x|+|y|=1
C.x3+y2=1
D.x2+y3=1
4.下列四组函数中,表示同一个函数的一组是(　　)
A.y=|x|,u=
B.y=,s=()2
C.y=,m=n+1
D.y=,y=
5.[2024甘肃靖远第一中学高一校联考期中]已知函数f(x)满足f(x)=2f(x-2),当0≤x<2时,f(x)=x2+3x-1,则f(5)=(　　)
A.3 B.6
C.12 D.24
6.函数f(x)=的定义域为　　　　　　　　　.
7.若函数f(x)=ax2-1,a为正实数,且f(f(-1))=-1,则a的值是　　　　　.
8.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(a)=2,求a的值;
(3)求证:f=-f(x).
B级 关键能力提升练
9.设f(x)=1+,x≠±1,则f(-x)等于(　　)
A.f(x) B.-f(x)
C.- D.
10.下列函数与函数y=x2相等的是(　　)
A.u=v2 B.y=x·|x|
C.y= D.y=()4
11.(多选题)下列函数值域为[0,4]的是(　　)
A.f(x)=x-1,x∈[1,5]
B.f(x)=-x2+4
C.f(x)=
D.f(x)=x+-2(x>0)
12.[2024甘肃定西高二统考开学考试]函数f(x)=的定义域是(　　)
A.[-1,+∞) B.[-1,0)∪(0,+∞)
C.(-1,0)∪(0,+∞) D.R
13.在实数的原有运算中,我们定义新运算“ ”如下:当a≥b时,a b=a;当a14.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是　　　　　　　.
(2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是　　　　　　　.
15.若关于x的函数y=的定义域是R,求k的取值范围.
16.已知函数f(x)=.
(1)求f(1),f(2)+f的值;
(2)证明:f(x)+f等于定值.
答案：
1.B　由解得x≥-1,且x≠1.
2.A　由函数的定义可知,一个x的值只能对应一个y的值,而选项A中一个x的值可能对应两个y的值,故不是函数图象.故选A.
3.D　根据函数的定义,函数关系中任意一个x都有唯一的y对应,选项A,B,C中关于x,y的关系式中,存在x有两个y与之对应,不能构成函数关系,选项D中的任意一个x都有唯一的y对应,能构成函数关系.故选D.
4.A　对于A,y=|x|和u==|v|的定义域都是R,对应关系也相同,因此是同一个函数;
对于B,y=的定义域为R,s=()2的定义域为{t|t≥0},两函数定义域不同,因此不是同一个函数;
对于C,y=的定义域为{x|x≠1},m=n+1的定义域为R,两函数定义域不同,因此不是同一个函数;
对于D,y=的定义域为{x|x≥1},y=的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},定义域不同,不是同一个函数.故选A.
5.C　因为函数f(x)满足f(x)=2f(x-2),当0≤x<2时,f(x)=x2+3x-1,
所以f(5)=2f(3)=4f(1)=4×(12+3×1-1)=12.
故选C.
6.(-∞,-1)∪(-1,2]　要使f(x)有意义,则解得x≤2且x≠-1,
故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,2].
7.1　∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1,∴a3-2a2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).故a=1.
8.(1)解要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,
解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.
(2)解因为f(x)=,且f(a)=2,
所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.
(3)证明由已知得f,
-f(x)=-,所以f=-f(x).
9.D　f(x)=1+,则f(-x)=,故选D.
10.A　对于A,y=x2的定义域为R,u=v2的定义域为R,定义域和对应关系都相同,y=x2与u=v2相等;
对于B,y=x2与y=x·|x|的对应关系不同,不是同一个函数;
对于C,y=的定义域为{x|x≠0},定义域不同,不是同一个函数;
对于D,y=()4的定义域为{x|x≥0},定义域不同,不是同一个函数.故选A.
11.AC　当x∈[1,5]时,x-1∈[0,4],所以函数f(x)=x-1,x∈[1,5]的值域是[0,4],故A正确;因为-x2≤0,所以-x2+4≤4,所以函数值域是(-∞,4],故B错误;因为-x2≤0,所以16-x2≤16,又16-x2≥0,所以0≤≤4,即函数值域为[0,4],故C正确;因为x>0,所以x+≥2,所以x+-2≥0,当且仅当x=1时等号成立,故函数值域为[0,+∞),故D错误.故选AC.
12.B　函数f(x)=有意义,则解得x≥-1且x≠0,
所以函数f(x)=的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).
故选B.
13.[-1,2]　由题意知,当x∈[-2,1]时,f(x)=-1;
当x∈(1,2]时,f(x)=x2-2∈(-1,2].
所以当x∈[-2,2]时,f(x)∈[-1,2].
14.(1)(-1,3]　(2)　(1)∵-1∴-2<2x≤2.∴-1<2x+1≤3.
∴函数的值域为(-1,3].
(2)∵x2+x+2=(x+)2+,
∴函数的值域为[,+∞).
15.解 ∵函数y=的定义域是R,
∴kx2-6kx+8≥0对于x∈R恒成立.
①当k=0时,8≥0成立;
②当k>0时,Δ=(-6k)2-4×k×8≤0,
解得0综上,k的取值范围为.
16.(1)解f(1)=;f(2)=,f,所以f(2)+f=1.
(2)证明f,
所以f(x)+f=1,为定值.
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