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2025湘教版数学必修第一册
3.1.2　表示函数的方法
A级 必备知识基础练
1.若函数y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8,x≠5},值域为{y|-1≤y≤2,y≠0},则y=f(x)的图象可能是(　　)
2.已知f=x,则f(x)=(　　)
A. B.
C. D.
3.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=(　　)
A.x+1 B.x-1
C.2x+1 D.3x+3
4.下列函数中,对任意x,不满足2f(x)=f(2x)的是(　　)
A.f(x)=|x| B.f(x)=-2x
C.f(x)=x-|x| D.f(x)=x-1
5.作出下列函数的图象,并指出其值域:
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).
6.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,求f(x)的解析式.
B级 关键能力提升练
7.若f(1-2x)=(x≠0),那么f=(　　)
A.1 B.3
C.15 D.30
8.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),则下列函数可以为y=f(x)解析式的是(　　)
A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x-1
C.f(x)=2x D.f(x)=x2+x
9.(多选题)已知f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是(　　)
A.f(3)=9 B.f(-3)=4
C.f(x)=x2 D.f(x)=(x+1)2
10.已知f(+1)=,则f(x)=　 　 　 　 　.
11.已知函数f(x)满足f=x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数y=f-的值域.
C级 学科素养创新练
12.(1)已知f(1+2x)=,求f(x)的解析式;
(2)已知g(x)-3g=x+2,求g(x)的解析式.
答案：
1.B　选项A中,当x=8时,y=0,不符合题意,排除A;选项C中,存在一个x对应多个y值,不是函数的图象,排除C;选项D中,x取不到0,不符合题意,排除D.故选B.
2.B　令=t,则x=,故f(t)=,即f(x)=.
3.A　因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.
4.D　选项D中,2f(x)=2x-2≠f(2x)=2x-1,选项A,B,C中函数均满足2f(x)=f(2x).
故选D.
5.解(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图所示.
由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出函数的图象如图所示.
由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
6.解(方法1)由于函数图象的顶点坐标为(1,3),
则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).
∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.
故f(x)=-3(x-1)2+3.
(方法2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意得解得
∴f(x)=-3x2+6x.
7.C　令1-2x=,则x=.
∵f(1-2x)=(x≠0),
∴f()==15.故选C.
8.C　若f(x)=2x,则f(x+y)=2(x+y),f(x)+f(y)=2x+2y=2(x+y),其他选项都不符合,故选C.
9.BD　令t=2x-1,则x=,∴f(t)=4=(t+1)2.∴f(3)=16,f(-3)=4,f(x)=(x+1)2.
10.(x>1)　令+1=t,则t≥1,x=(t-1)2,
故f(t)=(t≥1).
由t-1≠0,解得t≠1,故t>1,故f(x)=(x>1).
11.解(1)令=t,则x=-2t+1,
则f(t)=-2t+1,即f(x)=-2x+1.
(2)y=f()-=x-,
设t=,则t≥0,且x=-t2+,
得y=-t2-t+=-(t+1)2+1,
∵t≥0,∴y≤.∴该函数的值域为(-∞,].
12.解(1)由题意得,f(1+2x)的定义域为{x|x≠0}.
设t=1+2x(t≠1),则x=,
∴f(t)=(t≠1),
∴f(x)=(x≠1).
(2)由g(x)-3g=x+2,①
得g-3g(x)=+2,②
①②联立消去g得,g(x)=--1(x≠0).
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