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2025湘教版数学必修第一册
3.2　函数的基本性质
3.2.1　函数的单调性与最值
A级 必备知识基础练
1.(多选题)下列四个函数在定义域上单调递减的是(　　)
A.f(x)=-2x+1 B.f(x)=
C.f(x)=x+1 D.f(x)=2x2(x<0)
2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
3.定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则(　　)
A.f(3)C.f(2)4.已知定义在[0,+∞)上的减函数f(x),若f(2a-1)>f,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,) B.()
C.(,+∞) D.[)
5.(多选题)已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是(　　)
A.[-1,2] B.[-3,2]
C.[-1,1] D.[-2,1]
6.[2024甘肃永昌第一高级中学高一校考期中]已知f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,那么“函数f(x)在区间[a,b]上单调递减”是“函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a)”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
7.已知f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0,在其定义域内,下列函数为增函数的是　　　　　.(填序号)
①y=a+f(x)(a为常数);②y=a-f(x)(a为常数);③y=;④y=[f(x)]2.
8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2)时,f(x)单调递减,则m=　　　　,f(1)=　　　　　.
9.证明函数f(x)=-在定义域上为减函数.
B级 关键能力提升练
10.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x10,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,+∞) B.[,+∞)
C.[,+∞) D.(,+∞)
11.(多选题)在下列函数中,满足“ x1,x2∈(0,+∞),都有<0”的有(　　)
A.f(x)=|x-1|
B.f(x)=-5x+1
C.f(x)=x2+4x+3
D.f(x)=
12.(多选题)下列函数在R上是增函数的是(　　)
A.y=|x|
B.y=x
C.y=x2
D.y=
13.(多选题)已知函数y=-x(x>1),则该函数的(　　)
A.最大值为-3 B.最小值为1
C.没有最小值 D.最小值为-3
14.已知函数f(x)=x2--3(x>0).
(1)判断函数的单调性,并证明;
(2)用函数观点解不等式:f(x)>0.
C级 学科素养创新练
15.在① x∈[-2,2],② x∈[1,3]这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题.
已知函数f(x)=x2+ax+4.
(1)当a=-2时,求f(x)在[-2,2]上的值域;
(2)若　　　　　,f(x)≥0,求实数a的取值范围.
答案：
1.AD　根据一次函数的性质,可得函数f(x)=-2x+1为减函数,故A符合题意;函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是单调函数,不符合题意;
根据一次函数的性质,可得函数f(x)=x+1为增函数,不符合题意;
根据二次函数的性质,可得函数f(x)=2x2在区间(-∞,0)上单调递减,符合题意.
故选AD.
2.B　易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).
3.A　定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则函数f(x)在R上单调递减.
∵1<2<3,∴f(3)4.D　根据题意,f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,若f(2a-1)>f(),则有0≤2a-1<,解得≤a<,即a的取值范围为[),故选D.
5.AD　∵f(x)的值域是[0,4],∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2.
∴f(x)的定义域可能是[-1,2],[-2,1].
∵f(-3)=9,f(x)在[-1,1]上的最大值为1,
∴[-3,2]和[-1,1]不可能是f(x)的定义域.故选AD.
6.A　若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a),充分性成立;函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a),则不一定有函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,如f(x)=x2在区间[-2,1]上不单调,最大值为f(-2),必要性不成立.故选A.
7.②③　f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0时,-f(x),均为增函数,故选②③.
8.-8　13　∵函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x==-2,
∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13.
9.证明函数f(x)=-的定义域为[0,+∞).
x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=.
∵x1-x2<0,>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)10.C　由任意x1,x2∈[2,+∞),且x10,得函数f(x)在[2,+∞)上单调递增.
又函数f(x)为二次函数,故其图象开口向上,且对称轴在区间[2,+∞)的左侧,即解得a≥.故选C.
11.BD　因为 x1,x2∈(0,+∞),都有<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)=|x-1|在(1,+∞)上单调递增,故A错误;
f(x)=-5x+1在(0,+∞)上单调递减,故B正确;函数f(x)=x2+4x+3的对称轴x=-2<0,故f(x)=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,故C错误;函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故D正确.
12.BD　选项A,y=|x|,当x<0时单调递减,不符合题意;
选项B,显然在R上是增函数,符合题意;
选项C,y=x2,当x<0时单调递减,不符合题意;
选项D,作出草图如右实线部分,观察图象可得函数在R上为增函数,符合题意.
13.AC　因为x>1,所以1-x<0,则y=-x=+1-x-1=-(+x-1)-1.
令g(x)=+x(x>0),下面证明g(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,任取x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=+x1-(+x2)=+(x1-x2)=.
∵0∴x1x2-1<0,x1-x2<0,x1x2>0,
∴>0,即f(x1)>f(x2),故函数g(x)在(0,1)上单调递减,同理可证函数g(x)在[1,+∞)上单调递增.
故知h(x)=+x-1在(1,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.
所以y=-(+x-1)-1在(1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,当x=2时,函数取得最大值为-3,没有最小值.故选AC.
14.解(1)f(x)在(0,+∞)上单调递增.
证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,
即x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(-3)-(-3)=()+()=(x1-x2)(x1+x2)+=(x1-x2)(x1+x2+),
因为x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+x2+>0,
则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)可知函数f(x)=x2--3在区间(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,因此由f(x)>0=f(2)可得x>2.
因此不等式f(x)>0的解集为(2,+∞).
15.解(1)当a=-2时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,
则f(x)在[-2,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=3,f(-2)=12,f(2)=4,
故f(x)的值域为[3,12].
(2)选择条件①:
若a≥4,则f(x)在[-2,2]上单调递增,
∴f(x)min=f(-2)=8-2a≥0,解得a≤4.
又a≥4,∴a=4.
若-4∴f(x)min=f(-)=4-≥0,解得-4若a≤-4,则f(x)在[-2,2]上单调递减,
∴f(x)min=f(2)=8+2a≥0,解得a≥-4.
又a≤-4,
∴a=-4.
综上所述,a的取值范围是[-4,4].
选择条件②:
∵ x∈[1,3],f(x)≥0,
∴f(x)max≥0,
即f(1)≥0或f(3)≥0,
解得a≥-5或a≥-.
∴a≥-5,即a的取值范围为[-5,+∞).
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