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2025湘教版数学必修第一册
3.2.2　函数的奇偶性
A级 必备知识基础练
1.下列函数是奇函数的是(　　)
A.y= B.y=-3x2
C.y=-|x| D.y=πx3-x
2.函数f(x)=的图象关于(　　)
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
3.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数为奇函数的是(　　)
A.y=f(-x) B.y=f(x)+x3
C.y= D.y=f(x)
4.已知函数g(x)=f(x)-x,其中y=g(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(　　)
A.-1 B.1
C.-3 D.3
5.[2024甘肃高二学业考试]已知定义在区间[m-1,1-2m]上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2-2x,则f(m)=　　　　　.
6.已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求f(2)和实数a的值;
(2)求方程f(x)=f(2)的解.
B级 关键能力提升练
7.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
8.已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a=(　　)
A.2 B.-1
C.2或-1 D.2或1
9.已知函数y=f(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)=　　　　　.
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)若f(x)在[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.
C级 学科素养创新练
11.(多选题)已知f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),若f(1)=1,则下列判断正确的是(　　)
A.f(-1)=-1
B.f(3)=1
C.f(x)=f(x+4)
D.f(18)+f(19)+f(20)=-1
答案：
1.D　先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数.
2.B　∵函数f(x)=,定义域为{x|x≠±},定义域关于原点对称,且f(-x)==f(x),∴函数f(x)=为偶函数,图象关于y轴对称,故选B.
3.AB　对于A,设F(x)=f(-x),其定义域为R,则有F(-x)=f[-(-x)]=f(x)=-f(-x)=-F(-x),故函数y=f(-x)为奇函数;
对于B,设F(x)=f(x)+x3,其定义域为R,则有F(-x)=f(-x)+(-x)3=-[f(x)+x3]=-F(x),故函数y=f(x)+x3为奇函数;
对于C,设F(x)=,其定义域为{x|x≠0},则有F(-x)==F(x),故函数y=是偶函数;
对于D,y=f(x),其定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选AB.
4.C　∵g(x)=f(x)-x,f(2)=1,
∴g(2)=f(2)-2=1-2=-1.
∵y=g(x)是偶函数,
∴g(-2)=f(-2)+2=-1,
∴f(-2)=-3.故选C.
5.0　由题意,f(x)是定义在区间[m-1,1-2m]上的奇函数,可得m-1=-(1-2m),解得m=0,
则其定义域为[-1,1],f(m)=f(0)=0.
6.解(1)设x>0,则-x<0.
当x≤0时,f(x)=-x2-4x,
则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x,
因为f(-x)=-f(x)=-x2+4x,
所以f(x)=x2-4x=x2+ax,
所以a=-4,则f(2)=-4.
(2)原方程等价于
解得x=2或x=-2-2.
7.B　f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
8.C　∵g(x)是奇函数,∴g(x)+g(-x)=0.
∴f(x)+f(-x)=2x2.
而f(a)=2,f(-a)=2a+2,则4+2a=2a2,解得a=2或-1,故选C.
9.2　因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2),f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2),两式相减可得f(2)=g(-2),若f(2)=2,则g(-2)=2.
10.解(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,
则f(0)=0,若x<0,则-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又由f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x2+2x.
综上可得,f(x)=
(2)由(1)知f(x)=作出函数图象如图,
若f(x)在[-2,b)上有最大值,即函数图象在区间[-2,b)上有最高点,必有-21,
故b的取值范围为(-2,0]∪(1,+∞).
11.ACD　f(x)在定义域R上为奇函数,满足f(x)=f(2-x),即f(x)=f(2-x)=-f(-x),变形可得f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即f(x)=f(x+4),因此C正确;
若f(1)=1,则f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,故A正确,B错误;
f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0,
又f(x)=f(2-x),令x=0,可得f(2)=f(0)=0.
因为f(x)=f(x+4),所以f(18)=f(2)=0,
同理,f(19)=f(3)=-1,f(20)=f(0)=0,则f(18)+f(19)+f(20)=-1,D正确.故选ACD.
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