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2025湘教版数学必修第一册
4.1.3　幂函数
A级 必备知识基础练
1.下列函数既是幂函数又是偶函数的是(　　)
A.f(x)=3x2 B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-3
2.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则下列关于f(x)的说法正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的定义域为(0,+∞)
D.f(x)在(0,+∞)上单调递增
3.[2024甘肃永昌第一高级中学高一校考期中]已知幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=(x-1)f(x)在区间[1,3]上的最大值是(　　)
A.2 B.1
C. D.0
4.(多选题)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是(　　)
A.函数y=xα的图象过原点
B.函数y=xα是偶函数
C.函数y=xα是减函数
D.函数y=xα的值域为R
B级 关键能力提升练
5.已知幂函数f(x)=,若f(a-1)A.[-1,3) B.(-∞,5)
C.[1,5) D.(5,+∞)
6.函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
7.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.
C级 学科素养创新练
8.幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m=　　　　　,f=　　　　　.
答案：
1.C　函数f(x)=3x2,不是幂函数;
函数f(x)=,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f(x)==x-4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;
函数f(x)=x-3是幂函数,但不是偶函数.故选C.
2.D　设幂函数f(x)=xα(α为常数),
∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,),
∴2α=,∴α=,
∴幂函数f(x)=.
∵>0,∴幂函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确;∵幂函数f(x)=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C错误,故选D.
3.C　设f(x)=xα(α≠0),
∴3α=,
∴α=-2,
∴f(x)=x-2,
∴g(x)=(x-1)·x-2=-,
令t=,
由于y=-t2+t在区间上单调递增,在区间上单调递减,
∴ymax=-,
∴g(x)在区间[1,3]上的最大值是.
故选C.
4.AD　因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3.
故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD.
5.C　由幂函数f(x)=,若f(a-1)可得,即得1≤a<5.所以a的取值范围为[1,5).
6.A　由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.
7.解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不合题意,舍去.故f(x)=x2.
(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数,
∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a≤3或a≥4.
故实数a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).
8.2或3　4　幂函数y=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+4<0得1由题知m是整数,故m的值可能为2或3,
验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f()=4.
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