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2025湘教版数学必修第一册
4.2　指数函数
4.2.1　指数爆炸和指数衰减
4.2.2　指数函数的图象与性质
A级 必备知识基础练
1.若函数f(x)=(m2-m-1)ax(a>0,且a≠1)是指数函数,则实数m的值为(　　)
A.2 B.1
C.3 D.2或-1
2.已知a=40.1,b=0.40.5,c=0.40.8,则a,b,c的大小关系正确的是(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
3.已知04.设函数f(x)=10-ax,其中a为常数,且f(3)=,则a的值为　　　　;若f(x)≥4,则x的取值范围为　　　　　.
5.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值为M,最小值为N.
(1)若M+N=6,求实数a的值;
(2)若M=2N,求实数a的值.
B级 关键能力提升练
6.函数y=ax-a(a>0,a≠1)的图象可能是(　　)
7.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点(　　)
A.(-2,) B.(-1,)
C.(1,2) D.(3,)
8.若2 022a=2 023b>1,则(　　)
A.0C.09.(多选题)下列式子不正确的是(　　)
A.1.52.5>1.53.2 B.1.70.2<0.92.1
C. D.0.80.5<0.90.4
10.函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)
B.(0,1)
C.[,1)
D.(0,]
11.(多选题)[2024甘肃靖远第一中学高一校考期末]已知函数f(x)=e-x-ex-5x+2,若f(a2)+f(a-2)>4,则整数a的值可以为(　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
12.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,).
(1)求a,并比较f(b2+b+1)与f的大小;
(2)求函数g(x)=的值域.
13.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的值;
(2)若f(x)的图象如图②所示,求a,b的取值范围;
(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.
C级 学科素养创新练
14.(多选题)已知函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,当x∈(0,4]时,f(x)的图象如图所示,那么满足不等式f(x)≥3x-1的x的可能取值是(　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
答案：
1.D　由指数函数的定义,得m2-m-1=1,解得m=2或-1,故选D.
2.C　因为40.1>40=1,而0<0.40.8<0.40.5<0.40=1,即a>1,0b>c.故选C.
3.三　04.2　[6,+∞)　函数f(x)=()10-ax,
由f(3)=,得()10-3a=,得10-3a=4,
解得a=2,
故f(x)=22x-10.
由f(x)≥4,得22x-10≥22,
故2x-10≥2,
解得x≥6.
5.解①当a>1时,f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)的最大值为M=f(2)=a2,最小值N=f(1)=a;
②当0则f(x)的最大值为M=f(1)=a,最小值N=f(2)=a2.
(1)∵M+N=6,∴a2+a=6,解得a=2,或a=-3(舍去).
(2)∵M=2N,∴当a>1时,a2=2a,解得a=2,或a=0(舍去);当06.C　当a>1时,y=ax是增函数,-a<-1,则函数y=ax-a的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正确;y=ax-a的图象与x轴的交点是(1,0),故选项B,D不正确;当07.D　设f(x)=ax,a>0且a≠1.
∵f(-1)==2,解得a=,即f(x)=()x.
∵f(-2)=()-2=4,f(-1)=()-1=2,f(1)=,f(3)=()3=.故D正确.
8.A　在同一坐标系内分别作出y=2 022x以及y=2 023x的图象,
因为2 022a=2 023b>1,所以09.AB　由指数函数的单调性可知1.52.5<1.53.2,则A错误;由指数函数的单调性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,即1.70.2>0.92.1,则B错误;由幂函数的单调性可知(,则C正确;由幂函数、指数函数的单调性可知0.80.5<0.80.4,0.80.4<0.90.4,即0.80.5<0.90.4,则D正确.故选AB.
10.D　因为函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,所以解得011.BC　令g(x)=f(x)-2=e-x-ex-5x,
因为g(-x)=ex-e-x+5x=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
因为函数y=e-x,y=-ex,y=-5x都是减函数,
所以函数g(x)是减函数.
若f(a2)+f(a-2)>4,
则有f(a2)-2>-[f(a-2)-2],
即g(a2)>-g(a-2)=g(2-a),
所以a2<2-a,解得-212.解(1)由已知得a2=,解得a=,故f(x)=()x.
∵f(x)=()x在R上单调递减,
且b2+b+1=,
∴f()≥f(b2+b+1).
(2)令t=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∵y=()t在R上单调递减,
∴y=()t≤()-4=81.
∵y=()t>0,故g(x)的值域是(0,81].
13.解(1)因为函数f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),
所以解得a=,b=-3.
(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),因为f(0)=1+b<0,即b<-1,所以b的取值范围为(-∞,-1).
(3)由题图①可知y=|f(x)|的图象如图所示.
由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{m|m=0或m≥3}.
14.AC　因为函数f(x)是定义在[-4,0)∪(0,4]上的奇函数,由题意,画出函数f(x)在[-4,0)∪(0,4]上的图象如图所示,在同一坐标系内画出y=3x-1的图象.
因为f(2)=,所以f(-2)=-f(2)=-=3-2-1.
又f(1)=2=31-1,即f(x)与y=3x-1交于(-2,-)和(1,2)两点.
由图象可得f(x)≥3x-1的解满足x≤-2或0又定义域为[-4,0)∪(0,4],所以x∈[-4,-2]∪(0,1].故选AC.
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