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2025湘教版数学必修第一册
4.3.2　对数的运算法则
A级 必备知识基础练
1.已知alog32=1,则2a=(　　)
A. B.1
C.2 D.3
2.log2+lg 25+lg 4++9.80=(　　)
A.1 B.4
C.5 D.7
3.(多选题)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式恒等的是(　　)
A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg=lg x-lg y
C.loym=logxy D.lg
4.若2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),则的值为(　　)
A.4 B.1或
C.1或4 D.
B级 关键能力提升练
5.设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为(　　)
A. B.
C. D.
6.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　)
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C. D.
7.解下列对数方程:
(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;
(2)logx4+log2x=3.
8.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物.
(1)求常数k的值;
(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)
(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)
C级 学科素养创新练
9.已知2y·logy4-2y-1=0(y>0,y≠1),·log5x=-1(x>0,x≠1),是否存在一个正数P,使得P=
答案：
1.D　alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.
2.C　原式=log22+lg(25×4)++1=2+2+1=5.故选C.
3.BCD　因为x>0,y>0,n≠0,m∈R,则lg x+lg y=lg(xy),故A错误;
lg=lg x-lg y,故B正确;loym=logxy,故C正确;
lg ,故D正确.故选BCD.
4.D　∵2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),
∴lg(x-2y)2=lg xy,
∴(x-2y)2=xy,
∴x2-5xy+4y2=0,
∴(x-y)(x-4y)=0,
∴x=y或x=4y.
∵x-2y>0,且x>0,y>0,
∴x≠y,∴.
5.C　根据换底公式和对数运算性质得log212=.故选C.
6.AD　由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),
则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
对于选项A,由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+36=2,故A正确,B错误;
对于选项C,=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,
故,故C错误;
对于选项D,=2logk6-logk4=logk9,=logk9,
故,故D正确.
7.解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,
得
即
解得x=2或x=-9(舍).
(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),
得2logx2+log2x-3=0,
令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,
解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;
当t=2时,可得log2x=2,即x=4.
经检验x=2,x=4均符合题意.
故原方程的解为x=2或x=4.
8.解(1)由已知得当t=0时,P=P0;
当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,
解得k=-ln 0.9(或k≈0.022).
(2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,
有0.3P0=P0,
解得t=≈55.
故污染物减少到30%至少需要55 h.
9.解存在.由2y·logy4-2y-1=0,得2y=0,
∴logy4=,即y=16.
由·log5x=-1,
得=-,
即=-logx5>0.
∴(logx5+1)=(logx5)2,
整理得2(logx5)2-logx5-1=0,
解得logx5=-(logx5=1舍去),
∴=25.
从而P==3,
即存在一个正数P=3,使得P=成立.
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