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2025湘教版数学必修第一册
4.3.3　对数函数的图象与性质
A级 必备知识基础练
1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为(　　)
A.[0,1] B.(0,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
2.已知函数f(x)=loga(x-m)(a>0且a≠1)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.奇函数 D.偶函数
3.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,2) D.(1,2)
4.[2024甘肃高一统考期末]设a=log26,b=log312,c=20.6,则(　　)
A.aC.b5.已知函数f(x)=loga(a-ax)(a>1),则f(x)的定义域为　　　　　,值域为　　　　　.
6.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
B级 关键能力提升练
7.(多选题)已知a>0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是(　　)
8.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是(　　)
A.-e B.-
C.e D.
9.已知a>0且a≠1,若函数f(x)=的值域为[1,+∞),则a的取值范围是(　　)
A. B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(1,2]
10.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式:
①a>b>1;②b>a>1;③a其中可能正确的关系式是　　　　　.
11.设f(x)=ax(a>0且a≠1),其图象经过点(),g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称.
(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值;
(2)若g(x)在区间[,c]上的值域为[m,n],且n-m=,求c的值.
C级 学科素养创新练
12.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M.
(1)若1 M,2∈M,求实数a的取值范围;
(2)若M=R,求实数a的取值范围.
答案：
1.A　由于0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,∴log21≤log2(x+1)≤log22,即0≤log2(x+1)≤1,故函数f(x)的值域为[0,1],故选A.
2.A　将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有解得a=4和m=3,则有f(x)=log4(x-3).由于定义域是x>3,则函数不具有奇偶性.函数f(x)在定义域上是增函数.
3.D　由-0恒成立,则04.B　由4<6,得a=log26>log24,由9<12<9,得log395.(-∞,1)　R　令a-ax>0,即ax因为a>1,所以x<1.
因为a-ax>0,所以f(x)=loga(a-ax)∈R,因此,函数f(x)的定义域为(-∞,1),值域为R.
6.解(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
由题意得f(9)=loga9=2,故a2=9,
解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.
7.ABD　函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,又函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确,故选ABD.
8.B　∵函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=ln x,又由y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=ln(-x).又f(m)=-1,
∴ln(-m)=-1,m=-,故选B.
9.D　∵当x≤2时,f(x)∈[1,+∞),且f(x)的值域为[1,+∞),∴当x>2时,f(x)的值域是[1,+∞)的子集,此时logax>loga2≥1,∴110.②④⑤　实数a,b满足等式log2a=log3b,即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等,当a=b=1时,log2a=log3b=0,此时⑤成立;作直线y=1,由图象知,此时log2a=log3b=1,可得a=2,b=3,由此知②成立,①不成立;作出直线y=-1,由图象知,此时log2a=log3b=-1,可得a=,b=,由此知④成立,③不成立.
综上,正确的关系式为②④⑤.
11.解(1)因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(),所以,
所以a=10,所以f(x)=10x.
因为f(2m)=4,f(n)=25,
所以102m=4,10n=25,
所以102m·10n=100,
所以102m+n=102,
所以2m+n=2.
(2)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称,
所以g(x)=lg x(x>0),且为增函数,
所以g(x)在区间[,c]上的值域为[lg,lg c]=[m,n].
因为n-m=,所以lg c-lg,
所以lg c=2,则c=100.
12.解(1)由题意M={x|ax2+2x+a>0}.
由1 M,2∈M可得
化简得
解得-所以a的取值范围为.
(2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立.
当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;
当a≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,
即化简得解得a>1.
所以a的取值范围为(1,+∞).
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