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2025湘教版数学必修第一册
4.4　函数与方程
4.4.1　方程的根与函数的零点
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=ln x-的零点位于区间(　　)
A. B.(1,e)
C.(e,e2) D.(e2,e3)
2.若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k,k+1)(k∈Z),则k=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
4.(多选题)[2024甘肃陇南高一统考期末]已知函数f(x)=(2x-4)(2x-2-1)-2x-2-1只有两个零点x1,x2(x1A.04
C.35.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点
C.f(x)在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(1,2)上一定有零点
6.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且07.已知函数f(x)=x2-mx+a-m对任意的实数m恒有零点,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
8.已知函数f(x)=log2(x+1)+3x+m的零点在区间(0,1]上,则m的取值范围为(　　)
A.(-4,0)
B.(-∞,-4)∪(0,+∞)
C.(-∞,-4]∪[0,+∞)
D.[-4,0)
9.已知函数f(x)=则f(x)的零点个数为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
10.已知函数f(x)=log3x+3x,g(x)=3x+3x,h(x)=x3+3x的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系为(　　)
A.x2B.x1C.x2D.x311.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是(　　)
A.a<αC.α12.(多选题)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(x),且b>0,则g(x)零点的个数可能为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
13.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是　　　　　.
14.若关于x的方程|x2-2x-2|-m=0有3个不相等的实数解,则实数m的值为　　　　　　　　.
15.已知函数f(x)=
(1)若f(a)=1,求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)-m=0恰有三个解,求实数m的取值范围.
C级 学科素养创新练
16.已知函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5有两个零点.
(1)若函数的两个零点分别是-1和-3,求k的值;
(2)若函数的两个零点分别是α和β,求α2+β2的取值范围.
答案：
1.C　函数f(x)=ln x-在定义域上是增函数,并且是连续函数,f(e)=1-<0,f(e2)=2->0,f(e)f(e2)<0,
所以函数的零点位于(e,e2)上.故选C.
2.A　因为函数f(x)=2x+x-4在R上单调递增,且f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,
所以函数的零点在区间(1,2)内.又因为函数的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,所以k=1,故选A.
3.C　根据题意,令x2-2x+3x=0,
解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
令1++3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
4.ACD　易知f(2)≠0,由f(x)=(2x-4)(2x-2-1)-2x-2-1=0,得2x-4=.
设函数g(x)=2x-4,h(x)=,f(x)的零点为这两个函数图象交点的横坐标,
因为g(4-x)=-g(x),h(4-x)==-h(x),
所以g(x)与h(x)的图象都关于点(2,0)对称,有x1+x2=2×2=4,故B错误,D正确.
因为x1又f(0)>0,f(1)<0,f(3)<0,f(4)>0,
所以0故选ACD.
5.AC　因为f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)f(1)<0,
因为函数f(x)的图象在R上连续不断,
由零点存在定理,可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点.
又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
6.　因为方程x2-(k+2)x+1-3k=0有两个不相等的实数解x1,x2,且0所以设f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.
结合图象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,
且f(2)=1-5k>0,所以0故实数k的取值范围为.
7.解令x2-mx+a-m=0,因为函数f(x)对任意的实数m恒有零点,故不论m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,即Δ=(-m)2-4(a-m)≥0,即a≤+m对任意的实数m恒成立.
∵+m=(m+2)2-1≥-1,∴a≤-1.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1].
8.D　由题意,函数f(x)=log2(x+1)+3x+m是定义域上的增函数,又由函数f(x)在区间(0,1]上存在零点,则满足解得-4≤m<0,即实数m的取值范围为[-4,0),故选D.
9.C　∵f(x)=令f(x)=0,
当x≤0时,x2-2x=0,解得x=0或x=2(舍去);
当x>0时,-1=0,解得x=1.
所以f(x)=0有2个实数解,即函数f(x)的零点个数为2.故选C.
10.A　因为f(x)=log3x+3x在(0,+∞)上递增,当x=时,f=log3+1=0,所以x1=;
因为g(x)=3x+3x在(-∞,+∞)上递增,当x≥0时,g(x)=3x+3x≥1>0恒成立,故g(x)的零点小于0,即x2<0;
因为h(x)=x3+3x在(-∞,+∞)上递增,当x=0时,h(0)=0,故x3=0.故x211.C　∵α,β是函数f(x)的两个零点,
∴f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.故选C.
12.BCD　函数g(x)=b-f(x),且b>0,则g(x)零点的个数即函数y=b(b>0)与函数y=f(x)的图象在R上的交点个数,在平面直角坐标系中画出函数y=b(b>0)和函数y=f(x)的图象如图所示:
由图象可知,函数y=b(b>0)和函数y=f(x)的图象可能有1个,2个或3个交点.
故选BCD.
13.a观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a14.3　令f(x)=|x2-2x-2|,则由题意可得函数y=f(x)与函数y=m的图象有3个公共点.画出函数f(x)=|x2-2x-2|的图象如图所示,结合图象可知,要使两函数的图象有3个公共点,则m=3.
15.解(1)当a>0,f(a)=1,即a2-3a+2=1,解得a=,均满足条件.
当a≤0时,∵ea>0,ea+1>1,∴f(a)=1无解.
故a=.
(2)在同一坐标系内分别作出y1=f(x)和y2=m的图象如图所示.
当x≤0时,f(x)单调递增,1当x>0时,f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,f()=-.
故当116.解(1)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解.
则解得k=-2.
(2)由题意知α和β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的实数解,
∴
则
∴α2+β2在区间内的取值范围为.
故α2+β2的取值范围为.
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