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2025湘教版数学必修第一册
4.4.2　计算函数零点的二分法
A级 必备知识基础练
1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(　　)
A.[1,1.25] B.[1.25,1.5]
C.[1.5,2] D.不能确定
2.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(误差不超过0.02)为(　　)
A.1.437 5 B.1.375
C.1.25 D.1.422
3.已知函数f(x)=ln x+2x-6.
(1)证明:f(x)有且只有一个零点;
(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.
B级 关键能力提升练
4.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是(　　)
5.用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0,2]上的零点,要求误差不超过0.01时,计算中点函数值的次数最少为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.6 B.7
C.8 D.9
6.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),(1,),()内,则与f(0)符号不同的是(　　)
A.f() B.f(2)
C.f(1) D.f()
7.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:
x 0 0.5 0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1
f(x) -1.307 -0.084 -0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(误差不超过0.02)可能是(　　)
A.0.547 B.-0.009
C.0.562 5 D.0.066
8.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0)≈0.200 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.550 0)≈-0.060
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为　　　　　.(误差不超过0.01)
9.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(误差不超过0.1)时,至少需要进行多少次中点函数值的计算.
C级 学科素养创新练
10.函数g(x)=+log2x-2在区间(1,2)内是否有零点 若有零点,用“二分法”求零点的近似值(误差不超过0.2);若没有零点,说明理由.
(参考数据:≈1.18,≈1.225,≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,
log21.75≈0.807)
答案：
1.B　∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,
∴f(1.25)f(1.5)<0,
因此方程的解落在区间[1.25,1.5]内,故选B.
2.D　由表格中参考数据可得f(1.437 50)>0,f(1.406 25)<0,又因为题中要求误差不超过0.02,所以方程的近似解为1.422.故选D.
3.(1)证明令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且>1,x1-x2>0.
∴f(x1)>f(x2),
即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)至多有一个零点.
又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,
∴f(2)·f(3)<0,
即f(x)在(2,3)内有一个零点.
∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(2)解∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=,f()=ln-1<0,
∴f(3)f()<0,即f(x)零点x0∈[,3].
取x2=,则f()=ln>0.
∴f()f()<0.
∴x0∈[].
又=,
∴满足题意的区间为[].
4.C　根据二分法的思想,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C不符合,因为图象经过零点时函数值不变号,因此不能用二分法求函数零点.故选C.
5.B　根据题意,原来区间[0,2]的长度等于2,每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,则经过n次操作后,区间的长度为,依题意得<0.02,所以2n>100,所以n>log2100.因为6=log2646.BD　由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;④零点在区间(1,)内,则有f(1)·f()<0,则f(1)>0,f()<0,则取中点;⑤零点在区间()内,则有f()·f()<0,则f()>0,f()<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f().
7.A　设近似解为x0,
因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0,
所以x0∈(0.531 25,0.562 5).
因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.04,
所以方程的近似解可取为0.547,故选A.
8.1.556　由表知方程的近似解为1.556,误差不超过0.007.
9.解因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.
至少需要进行3次中点函数值的计算,理由如下:
取区间[-2,-1]的中点x1==-,且f(-)=-+5=-<0,
所以x0∈[-,-1].
取区间[-,-1]的中点x2==-,
且f(-)=+5>0,
所以x0∈[-,-].
取区间[-,-]的中点x3==-,且f(-)=+5>0,
所以x0∈[-,-].
因为--(-)<0.2,
所以区间[-,-]的中点x4==-即为零点的近似值,即x0≈-,所以至少需进行3次中点函数值的计算.
10.解g(x)=+log2x-2是定义域内的增函数.
∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(2)=+log22-2=-1>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有且只有一个零点.
∵g(1.5)=+log21.5-2≈1.225+0.585-2=-0.19<0,
g(1.75)=+log21.75-2≈1.323+0.807-2=0.13>0,
∴函数的零点在(1.5,1.75)内.
∵1.75-1.5=0.25<0.4,
∴g(x)零点的近似值为1.625.
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