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2025湘教版数学必修第一册
4.5　函数模型及其应用
4.5.1　几种函数增长快慢的比较
A级 必备知识基础练
1.(多选题)有一组实验数据如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有(　　)
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=logax+b(a>1)
2.下列函数增长速度越来越慢的是(　　)
A.y=6x B.y=log6x
C.y=x6 D.y=6x
3.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a km,休息了一段时间,又沿原路返回b km(a>b),再前进c km,则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是(　　)
4.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1 Δy2.(填“>”“=”或“<”)
5.某企业常年生产一种出口产品,根据近几年的数据显示,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lox+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式;
(2)因受到影响,2023年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,求出2023年的年产量.
B级 关键能力提升练
6.下图为某种植物1~5年内的植株高度,根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律,下列函数模型符合要求的是(　　)
A.y=kax+b(k>0,a>0,且a≠1)
B.y=klogax+b(k>0,a>0,且a≠1)
C.y=+b(k>0)
D.y=ax2+bx+c(a>0)
7.当0A.h(x)B.h(x)C.g(x)D.f(x)8.(多选题)已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述正确的是(　　)
A.随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2
B.随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3
D.当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1
9.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲在最前面;
②当x>1时,乙在最前面;
③当01时,丁在最后面;
④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的是甲.
其中正确结论的序号为　　　　.
10.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18 m2,经过3个月其覆盖面积约为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过x(x∈N+)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=loga(x+1)+q(a>1)可供选择.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;
(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍
C级 学科素养创新练
11.(多选题)已知函数f1(x)=2x,f2(x)=2x+1,g1(x)=logax(a>1),g2(x)=kx(k>0),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f1(x)和f2(x)的图象可能有两个交点
B. x0∈R,当x>x0时,恒有g1(x)>g2(x)
C.当a=2时, x0∈(0,+∞),f1(x0)D.当a=时,方程g1(x)=g2(x)有解
答案：
1.ABD　由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
2.B　3.C
4.<　由这两个函数的图象(图略)可知,指数函数增长得快些,所以Δy1<Δy2.
5.解(1)符合条件的是f(x)=ax+b,
理由:若模型为f(x)=2x+a,
则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合.
若模型为f(x)=lox+a,
则f(x)是减函数,与已知不符合.
由已知得解得
所以f(x)=x+,x∈N+.
(2)2023年预计年产量为f(7)=×7+=13,2023年实际年产量为13×(1-30%)=9.1.
所以2023年的年产量为9.1万件.
6.B　由散点图可知,植物高度增长越来越缓慢,故选择对数模型,即B符合.故选B.
7.D　在同一坐标下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.
8.BD　在同一坐标系内画出函数y1=x2,y2=2x,y3=x的图象,如图所示:
对于A,随着x的逐渐增大,y1增长速度不是越来越快于y2,故A错误;
对于B,随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,故B正确;
对于C,当x∈(0,+∞)时,y1增长速度不是一直快于y3,故C错误;
对于D,当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1,故D正确.
故选BD.
9.③④⑤　路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).
它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型函数模型.
当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,则①不正确;
当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,则②不正确;
根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,画出四个函数的图象(图略),可知当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,从而当01时,丁在最后面,则③正确;
结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,则④正确;
指数型函数的增长速度是先慢后快,若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲,则⑤正确.
10.解(1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=loga(x+1)+q(a>1)的增长速度越来越慢,
∴依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),
则解得故y=8(x∈N+).
(2)设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍,则k·≥k×100.
∵k>0,则≥100,
故x≥lo100=≈11.36.
∵x∈N+,故x=12.
即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.
11.AD　对于A,指数函数f1(x)=2x与一次函数f2(x)=2x+1都过(0,1),但f1(x)=2x在x增大时呈爆炸式增长,故还会出现一个交点,如图所示,所以函数f1(x)和f2(x)的图象有两个公共点,故A正确;
对于B,取x=0,g2(x)=kx(k>0)=0,当x→0时,g1(x)=logax(a>1)→-∞,此时g1(x)由图可知, x∈R,有f1(x)>g1(x)恒成立,故C错误;
对于D,当a=时,g1(x)=lox,g2(x)=kx(k>0),由a>1知,>1,且两个函数都过点(,1),即方程g1(x)=g2(x)有解,故D正确.故选AD.
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