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2025湘教版数学必修第一册
4.5.2　形形色色的函数模型
A级 必备知识基础练
1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(　　)
2.有一组实验数据如下:
t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)
A.V=log2t
B.V=lot
C.V=
D.V=2t-2
3.地震释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.据此推断里氏8.0级地震所释放的能量与里氏5.0级地震所释放的能量的倍数是(　　)
A.lg 4.5倍 B.4.510倍
C.450倍 D.104.5倍
4.已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=　　　　,经过5 h,1个病毒能繁殖　　　　个.
5.一个驾驶员喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,根据有关规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.2 mg/mL,那么这个驾驶员至少要经过　　　　　h才能开车(结果精确到1 h,参考数据lg 2≈0.30,lg 3≈0.48).
6.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从哪年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
B级 关键能力提升练
7.某化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为(　　)
A.106吨 B.108吨
C.110吨 D.112吨
8.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确的叙述是　　　　　.(填序号)
9.为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过滤前水含有杂质a%(其中a为常数),每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,设水过滤前的量为1,过滤次数为x(x∈N+)时,水的杂质含量为y.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过0.002a%,问至少经过几次过滤才能使矿泉水达到要求 (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
C级 学科素养创新练
10.测得某水域2023年二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2023年1月底记x=1,2024年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.
(1)你认为选择哪个模型更符合实际 并解释理由.
(2)利用你选择的函数模型,试估算从2023年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2
(可能用到的数据log215≈3.9,≈1.37,≈66.72)
答案：
1.D　设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.
2.C　当t=4时,选项A中的V=log24=2,
选项B中的V=lo4=-2,
选项C中的V==7.5,
选项D中的V=2×4-2=6,故选C.
3.D　设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为E1和E2,则lg E1=4.8+1.5×8,lg E2=4.8+1.5×5,所以lg=lg E1-lg E2=4.5,
则=104.5,即E1=104.5E2.故选D.
4.2ln 2　1 024　当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
5.2　设经过n h后才能开车,
此时酒精含量为0.3(1-25%)n.
根据题意,有0.3(1-25%)n≤0.2,
则有nlg=n(lg 3-2lg 2)≤lg=lg 2-lg 3,
将已知数据代入,得n(0.48-0.60)≤0.30-0.48,
∴n≥,故至少要经过2 h才能开车.
6.解设快递行业产生的包装垃圾为y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,
由题意可得y=400×(1+50%)n=400×()n,n∈N+,
当y=4 000时,有()n=10,两边取对数可得n(lg 3-lg 2)=1,∴n(0.477 1-0.301 0)=1,0.176 1n=1,解得n≈6,
∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.
7.B　因为化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产20%,所以一月份的产量为100×(1+20%)=120(吨).
又因为二月份比一月份减产10%,
所以二月份的产量为120×(1-10%)=108(吨).
故选B.
8.①③　由图象可得,当t=2时,y=,即a2=,
解得a=.故y=.
所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以①正确;
第一个月的减少量为1-;
第二个月的减少量为,显然两者不同,所以②错误;
③由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.
9.解(1)因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少,所以每次过滤后所含的杂质是前一次的,故y=a%×,x∈N+.
(2)设至少经过x次过滤才能使矿泉水达到要求,则a%×≤0.002a%,所以,
所以lg()x≤lg,
即xlg≤lg,
所以x≥≈5.7,
又x∈N+,所以x≥6.
故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.
10.解(1)若选择数据(2,45)和(4,80),
由解得m=35,n=10,
则y=35log2x+10,
当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符;
由解得a=,k=,
则y=×()x,
当x=8时,y=×()8=>115,与实际情况差别比较大,故选函数模型y=35log2x+10.
(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,
35log216+10=150,而146.5<148<150,
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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