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2025湘教版数学必修第一册
5.1　任意角与弧度制
5.1.1　角的概念的推广
A级 必备知识基础练
1.475°角的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若α是第四象限角,则180°+α一定是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.[2024甘肃酒泉高二校考学业考试]将x轴正半轴绕原点逆时针旋转30°,得到角α,则下列与α终边相同的角是(　　)
A.330° B.-330°
C.210° D.-210°
4.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
5.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=　　　　　.
6.在与角1 030°终边相同的角中最大的负角是　　　　　;最小的正角是　　　　　　　.
7.终边在直线y=x上的角的集合为　　　　　.
B级 关键能力提升练
8.下列各角中,与27°角终边相同的是(　　)
A.63° B.153°
C.207° D.387°
9.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　)
A.逆时针,270° B.顺时针,270°
C.逆时针,30° D.顺时针,30°
10.已知集合M={x∣x=±45°,k∈Z},P=,则M,P之间的关系为(　　)
A.M=P B.M P
C.M P D.M∩P=
11.(多选题)已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A,B,C的关系是(　　)
A.B=A∩C B.B∪C=C
C.B∩A=B D.A=B=C
12.(多选题)已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
13.角α,β的终边关于y轴对称,若α=30°,则β=　　　　　　　　　　　.
14.若角β的终边与60°角的终边相同,在[0°,360°)内,终边与角的终边相同的角为　　　　　.
15.已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
C级 学科素养创新练
16.自行车大链轮有36齿,小链轮有n齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度的绝对值是540度,则n=　　　　　.
17.已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.
答案：
1.B　因为475°=360°+115°,又因为115°是第二象限角,而475°与115°终边相同,故475°角的终边所在的象限是第二象限.故选B.
2.B　∵α是第四象限角,
∴k·360°-90°<α∴k·360°+90°<180°+α∴180°+α在第二象限,故选B.
3.B　由题意得与α终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°,k∈Z},当k=-1时,α=-330°,B正确,其他选项经过验证均不正确.故选B.
4.C　如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.
5.-30°+k·360°,k∈Z　在-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
6.-50°　310°　与1 030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+1 030°(k∈Z),由-360°得-1 390°故所求的最大负角为β=-50°.
由0°得-1 030°故所求的最小正角为β=310°.
7.{β|β=60°+n·180°,n∈Z}　在[0°,360°)范围内,终边在直线y=x上的角有两个:60°和240°.
因此终边在y=x上的角的集合为
S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=240°+k·360°,k∈Z}={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
8.D　与27°角终边相同的角的集合为{α|α=27°+k·360°,k∈Z},取k=1,可得α=387°.故与27°角终边相同的是387°.故选D.
9.B　由题意可知,∠AOB=120°,设∠BOC=θ,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+θ=
-150°,解得θ=-270°,故需要射线OB绕端点O顺时针旋转270°.
10.B　对于集合M,x=±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z,对于集合P,x=±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴M P.
11.BC　A∩C除了锐角,还包括其他角,比如-330°角,所以A选项错误.
锐角是小于90°的角,故B选项正确.
锐角是第一象限角,故C选项正确.
A,B,C集合中角的范围不一样,所以D选项错误.
12.AC　因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α13.150°+k·360°,k∈Z　∵30°与150°的终边关于y轴对称,
∴β的终边与150°角的终边相同.∴β=150°+k·360°,k∈Z.
14.20°,140°,260°　∵β=k·360°+60°,k∈Z,∴=k·120°+20°,k∈Z.
又∈[0°,360°),∴0°≤k·120°+20°<360°,k∈Z,∴-≤k<,∴k=0,1,2.
此时得分别为20°,140°,260°.故在[0°,360°)内,与角终边相同的角为20°,140°,260°.
15.解(1)设α=β+k·360°(k∈Z),
则β=-1 910°-k·360°(k∈Z).
令-1 910°-k·360°≥0,解得k≤-=-5.
k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,
于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),
取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
16.24　因为大链轮转过一周时,小链轮转36齿,而小链轮有n齿,故小链轮转周,由一周为360°,故小链轮转过的角度为×360°=540°,解得n=24.
17.解由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°. ①
α-β=670°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°. ②
由①②,得α=15°,β=65°.
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