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2025湘教版数学必修第一册
5.1.2　弧度制
A级 必备知识基础练
1.已知扇形的半径是2,面积为8,则此扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.4 B.2
C.8 D.1
2.若α=-3,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(多选题)[2024甘肃白银高一校考期末]下列结论正确的有(　　)
A.-是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形面积为
C.与-2 024°角终边相同的最小正角是136°
D.若角α为锐角,则角2α为钝角
4.已知角α=2 010°.
(1)将α改写成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)在区间[-5π,0)上找出与α终边相同的角;
(3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角.
B级 关键能力提升练
5.集合{α∣kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
6.已知一个扇形的半径与弧长相等,且扇形的面积为2 cm2,则该扇形的周长为(　　)
A.6 cm B.3 cm
C.12 cm D.8 cm
7.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是(　　)
A.- B.-
C. D.-
8.(多选题)圆的一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A. B.
C. D.
9.已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的中心角的弧度是　　　.
C级 学科素养创新练
10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径等于4米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)
A.6平方米 B.9平方米
C.12平方米 D.15平方米
答案：
1.A　设扇形的圆心角的弧度数α=x,则由面积公式可知S=r2x=8,结合r=2可知x=4.
2.C　因为-π<-3<-,所以α=-3的终边在第三象限.
3.BC　对于A,因为--2π且为第二象限角,
所以-为第二象限角,故A错误;
对于B,扇形的半径为r==3,
因此,该扇形的面积S=×π×3=,故B正确;
对于C,因为-2 024°=-360°×6+136°,
所以与-2 024°角终边相同的最小正角是136°,故C正确;
对于D,取α=,则角α为锐角,
但2α=,即角2α为锐角,故D错误.
故选BC.
4.解(1)2 010°=2 010×=5×2π+.又π<,角α与角的终边相同,故α是第三象限角.
(2)与α终边相同的角可以写为β=+2kπ(k∈Z).
又-5π≤β<0,∴k=-3,-2,-1.
当k=-3时,β=-;
当k=-2时,β=-;当k=-1时,β=-.
(3)与α终边相同的角可以写为γ=+2kπ(k∈Z).
又0≤γ<5π,∴k=0,1.当k=0时,γ=;
当k=1时,γ=.
5.C　由集合{α∣kπ+≤α≤kπ+,k∈Z},
当k为偶数时,集合{α∣kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}与{α≤α≤}表示相同的角,位于第一象限;
当k为奇数时,集合{α∣kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}与{α∣≤α≤}表示相同的角,位于第三象限.
所以集合{α∣kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中表示的角的范围为选项C,故选C.
6.A　设扇形的半径为R cm,则弧长l=R cm,扇形的圆心角为1 rad.又因为扇形的面积为2 cm2,所以R2=2,解得R=2 cm,
故扇形的周长为6 cm.故选A.
7.C　由-=-404π+或-=-402π-,
∵,∴使|θ|最小的θ的值是.故选C.
8.AD　设该弦所对的圆周角为α,则其圆心角为2α或2π-2α,由于弦长等于半径,所以可得2α=或2π-2α=,解得α=或α=.
9.1或4　设扇形的半径为r,弧长为l,
则l+2r=12,S=lr=8,
解得r=2,l=8或r=4,l=4,可得α==1或4.
10.B　如图.
由题意可得∠AOB=,OA=4,在Rt△AOD中,可得∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=×4=2,
可得矢=4-2=2,由AD=AO·sin=4×=2,
可得弦=2AD=2×2=4,所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=(4×2+22)=4+2≈9平方米.故选B.
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