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2025湘教版数学必修第一册
5.2　任意角的三角函数
5.2.1　任意角三角函数的定义
A级 必备知识基础练
1.已知角α的终边与单位圆交于点P(-,y),则cos α=(　　)
A.- B.-
C.- D.±
2.若点P在角α的终边上,则sin α=(　　)
A. B.-
C. D.-
3.若角α的终边经过点P(-1,-1),则(　　)
A.tan α=1 B.sin α=-1
C.cos α= D.sin α=
4.已知点P(tan α,sin α)在第三象限,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.用三角函数线比较sin 50°和cos 50°的大小,正确的结果为(　　)
A.sin 50°>cos 50°
B.sin 50°C.sin 50°=cos 50°
D.sin 50°和cos 50°无法比较
6.已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终边(　　)
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x,或y=-x上
7.角和角有相同的(　　)
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
8.(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A.α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的正切线
D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
9.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,3)是角θ终边上一点,则sin θ=　　　　　　.
10.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-,-1),则tan α=　　　　;cos α-sin α=　　　　　.
11.若α∈,且sin α<,cos α>,利用三角函数线,得到α的取值范围是　　　　　　　.
B级 关键能力提升练
12.在△ABC中,若sin Acos Btan C<0,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
13.设α为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,-),且cos α=,则sin α=(　　)
A. B.-
C. D.-
14.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-2,3] B.(-2,3)
C.[-2,3) D.[-2,3]
15.(多选题)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　)
A.sin 165°>0 B.cos 280°>0
C.tan 170°>0 D.tan 310°<0
16.已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等,则α的终边在(　　)
A.第一象限的角平分线上
B.第四象限的角平分线上
C.第二、第四象限的角平分线上
D.第一、第三象限的角平分线上
17.若θ∈,则有(　　)
A.sin θ>cos θ>tan θ
B.cos θ>tan θ>sin θ
C.sin θ>tan θ>cos θ
D.tan θ>sin θ>cos θ
18.已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+的值.
19.求tan α≥的角α的取值范围.
C级 学科素养创新练
20.角α的终边上的点P与A(a,b)(a≠0,b≠0)关于x轴对称,角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,则的值为　　　　　.
答案：
1.B　角α的终边与单位圆交于点P(-,y),
∴cos α=-.
2.B　∵点P在角α的终边上,
∴点P(,-1)在角α的终边上,∴r=2.∴sin α=-,
故选B.
3.A　由点P(-1,-1)的坐标计算可得r=,
则sin α==-,cos α==-,tan α==1.故选A.
4.D　由点P(tan α,sin α)在第三象限,可得
∴角α的终边在第四象限.
5.A　如图所示,50°角的正弦线为DP,余弦线为OD,△POD中,∠POD=50°,根据大角对大边知,DP>OD,即sin 50°>cos 50°.故选A.
6.D　由题意可知,|AT|=1,∴AT=±1.则tan α=±1,角α的终边在直线y=±x上,故选D.
7.C　∵=π+,∴角和角的终边互为反向延长线,即两个角的终边在同一条直线上,设为直线l.
因此,过点A(1,0)作单位圆的切线,与直线l有且只有一个交点T,可得tan=tan,都等于有向线段AT的长,即两角有相同的正切线.故选C.
8.AD　由三角函数线的定义知A,D正确,B,C不正确.B中,有相同正弦线的角可能不等,如;C中,当α=时,α与α+π都没有正切线.故选AD.
9.　因为P(4,3)是角θ终边上一点,所以点P到原点的距离为r=5,sin θ=.
10.　∵角α终边过点P(-,-1),|OP|=2,∴tan α=,sin α=-,cos α=-,
∴cos α-sin α=.
11.　利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内(不含边界),所以α的取值范围是.
12.C　因为sin A>0,所以cos B,tan C中一定有一个小于0,即B,C中一定有一个钝角,
故△ABC是钝角三角形.
13.B　∵α为第四象限角,其终边上一个点为(x,-),则cos α=x(x>0),
∴,∴x2=3.
又α为第四象限角,x>0,∴x=,
∴sin α==-.故选B.
14.A　由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,
所以有解得-215.ABD　165°是第二象限角,因此sin 165°>0,A正确;280°是第四象限角,因此cos 280°>0,B正确;170°是第二象限角,因此tan 170°<0,故C错误;310°是第四象限角,因此tan 310°<0,D正确.
16.C　若角α的终边在直线y=-x上,则角α的正弦线、余弦线长度相同,方向相反.∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上,故选C.
17.D　角θ在第一、三象限角分线的上方,作出角θ的正弦线DP,余弦线OD,正切线AT,
由图可知tan θ>sin θ>cos θ,选D.
18.解设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),
则x=k,y=-3k,r=|k|.
当k>0时,r=k,α是第四象限角,
sin α==-,
所以10sin α+=10×+3=-3+3=0;
当k<0时,r=-k,α为第二象限角,
sin α=,
=-,
所以10sin α+=10×+3×(-)=3-3=0.
综上,10sin α+=0.
19.解因为tan和tan都等于,利用三角函数的正切线(如图)可知,角α的终边在图中阴影部分(不包含y轴),
故角α的取值范围为{α∣2kπ+≤α<2kπ+或2kπ+π≤α<2kπ+,k∈Z}={α∣kπ+≤α20.0　由题意得P(a,-b),Q(b,a),所以sin α=,
cos α=,tan α=-,sin β=,
cos β=,tan β=,
所以=-1-=0.
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