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2025湘教版数学必修第一册
5.2.2　同角三角函数的基本关系
A级 必备知识基础练
1.已知cos θ=,且<θ<2π,则的值为(　　)
A. B.-
C. D.-
2.已知,则tan θ的值为(　　)
A.-4 B.-
C. D.4
3.[2024甘肃白银高一校考期末]已知<α<π,sin α+cos α=-,则的值为(　　)
A. B.
C. D.-
4.(多选题)已知sin α=-,cos α>0,则(　　)
A.tan α<0 B.sin αcos α>0
C.sin2α>cos2α D.tan2α<1
5.(多选题)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是(　　)
A.tan α=-
B.=sin α-cos α
C.cos α=-
D.=sin α+cos α
6.已知sin α+cos α=-,α∈(0,π),则sin α·cos α=　　　　,tan α=　　　　　.
B级 关键能力提升练
7.已知角θ的始边为x轴非负半轴,终边经过点P(1,2),则的值为(　　)
A.- B.
C.- D.
8.已知=-,则的值是(　　)
A. B.-
C. D.-
9.化简的结果为(　　)
A.-cos 160° B.cos 160°
C. D.
10.(多选题)以下各式化简结果为sin α的有(　　)
A.cos αtan α
B.
C.sin3α+sin αcos4α+sin3αcos2α
D.
11.若cos α+2sin α=-,则tan α=　　　　　.
12.在平面直角坐标系xOy中,以x轴非负半轴为始边作角α∈,β∈,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知点A,B的横坐标分别为,-,则tan α=　　　　　,cos β的值为　　　　　.
13.[2024甘肃兰州西北师大附中高一校考期末]回答下列两题.
(1)已知=3,求tan θ的值;
(2)若θ∈(0,π),且sin θ+cos θ=,求tan θ的值.
14.已知sin θ+cos θ=,其中θ是△ABC的一个内角.
(1)求sin θcos θ的值;
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.
C级 学科素养创新练
15.已知sin α,cos α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两根,求的值.
答案：
1.D　因为cos θ=,且<θ<2π,
所以sin θ=-=-.
所以tan θ=-,故=-.
2.A　,可得,解得tan θ=-4.故选A.
3.B　因为<α<π,所以sin α>0,cos α<0.
又
即2cos2α+cos α-=0,得cos α=-,则sin α=,
所以.
故选B.
4.AC　∵sin α=-,cos α>0,∴cos α=,
∴tan α==-<0,故A正确,tan2α=>1,故D错误;
sin αcos α<0,故B错误;sin2α==cos2α,故C正确.故选AC.
5.BC　由同角三角函数的基本关系式,知tan α=,所以A错误;
=|sin α-cos α|,因为α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0,所以原式=sin α-cos α,所以B正确;
α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以有cos α=-,所以C正确;
=|sin α+cos α|,但是α是第二象限角,sin α+cos α符号不确定,所以D错误.故选BC.
6.-　-　由sin α+cos α=-得(sin α+cos α)2=sin2α+2sin αcos α+cos2α=1+2sin αcos α=,
解得sin α·cos α=-;
由sin αcos α=-=-,解得tan α=-或-.
∵α∈(0,π)时,sin α>0,∴若sin α+cos α=-,
则cos α<0且-cos α>sin α,即tan α>-1,
∴tan α=-.
7.D　∵角θ的始边为x轴非负半轴,终边经过点P(1,2),∴tan θ=2.
则.故选D.
8.D　由sin2α+cos2α=1,得1-cos2α=sin2α,
∴.∵=-,∴=-,则=-.故选D.
9.A　原式==|cos 160°|=-cos 160°.故选A.
10.AC　对A,原式=cos α·=sin α,故A正确;
对B,原式==|sin α|,故B错误;
对C,原式=sin3α+sin αcos2α(cos2α+sin2α)=sin3α+sin αcos2α=sin α(sin2α+cos2α)=sin α,
故C正确;
对D,原式==-2tan2α,故D错误.故选AC.
11.2　(方法1)由联立消去cos α,
得(--2sin α)2+sin2α=1.
化简得5sin2α+4sin α+4=0,∴(sin α+2)2=0,
∴sin α=-.∴cos α=--2sin α=-.
∴tan α==2.
(方法2)∵cos α+2sin α=-,
∴cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5.
∴=5.
∴=5,∴tan2α-4tan α+4=0.
∴(tan α-2)2=0,∴tan α=2.
12.7　-1+　由已知条件可知cos α=,又α∈,所以sin α>0,sin α=,tan α=7,cos β=-,又β∈,所以sin β>0,从而sin β=;
cos β=cos β=cos β=-(1-sin β)=-1+.
13.解 (1)=3,
则sin θ+cos θ=9cos θ-3sin θ,
即4sin θ=8cos θ,所以tan θ==2.
(2)sin θ+cos θ=,两边平方得1+2sin θcos θ=,
所以2sin θcos θ=-<0.
又θ∈(0,π),则sin θ>0,cos θ<0,
所以sin θ-cos θ>0.
因为(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+,
所以sin θ-cos θ=.
联立
所以tan θ=-.
14.解(1)因为sin θ+cos θ=,
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
解得sin θcos θ=-.
(2)因为θ是△ABC的一个内角,sin θcos θ=-<0,
所以cos θ<0,即<θ<π,所以△ABC为钝角三角形.
15.解∵sin α,cos α是方程8x2+6mx+2m+1=0的两根,
∴sin α+cos α=-,sin αcos α=.
∴-2×=1,
整理得9m2-8m-20=0,即(9m+10)(m-2)=0.
∴m=-或m=2.
又sin α,cos α为两根,
∴Δ=36m2-32(2m+1)≥0.
即9m2-16m-8≥0,∴m=2不合题意,舍去.
故m=-.
∴=-.
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