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2025湘教版数学必修第一册
第2课时　正弦函数、余弦函数的周期性、最值
A级 必备知识基础练
1.[2024甘肃天水高三校联考阶段练习]已知函数f(x)=cos(其中ω>0)在区间(0,π)上恰有4个零点,则ω的取值范围为(　　)
A. B.(3,4]
C. D.
2.设f(x)是定义域为R、最小正周期为的函数,若f(x)=则f(-)的值等于(　　)
A.1 B.
C.0 D.-
3.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)
A.y=3,x=
B.y=1,x=+2kπ(k∈Z)
C.y=3,x=-+2kπ(k∈Z)
D.y=3,x=+2kπ(k∈Z)
4.函数y=asin x+1的最大值是3,则它的最小值是(　　)
A.0
B.1
C.-1
D.与a有关
5.函数y=1-sin(3x+),x∈R的最小值是　　　　　　,此时x的取值集合是　　　　　　　　　　　　　.
6.函数y=3-2cos(x+)的最大值为　　　　　,此时x=　　　　　　　.
7.已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出这个函数的简图.
(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期.
B级 关键能力提升练
8.下列函数中,最小正周期为π的函数是(　　)
A.y=sin x B.y=|cos x|
C.y=cos x D.y=sin|x|
9.函数f(x)=的最大值和最小值分别为　　　　和　　　　.
10.已知函数f(x)=-sin2x+asin x+1,
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若当a>0时,函数f(x)的最大值是3,求实数a的值.
答案：
1.A　∵x∈(0,π),ω>0,∴ωx+.
又函数f(x)=cos在区间(0,π)上恰有4个零点,∴<ωπ+,∴<ω≤,
∴ω的取值范围是.
故选A.
2.B　f(-)=f[×(-3)+]=f()=sin.
3.C　因为y=2-sin x,所以当sin x=-1时,y=3,此时x=-+2kπ(k∈Z).
4.C　设sin x=t∈[-1,1],当a=0时,不满足条件.当a>0时,y=at+1,当t=1时,y有最大值3,即a+1=3,则a=2,则当t=-1时,y有最小值-1,当a<0时,y=at+1,当t=-1时,y有最大值3,即-a+1=3,则a=-2,则当t=1时,y有最小值-1,综上y=asin x+1的最小值是-1.故选C.
5.　{x∣x=,k∈Z}　当sin(3x+)=1,即3x++2kπ,即x=时,函数取得最小值y=1-.
6.5　+2kπ(k∈Z)　函数y=3-2cos(x+)的最大值为3+2=5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z).
7.解(1)y=sin x+|sin x|
=
函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.
8.B　对于A、C,周期均为2π,故A、C错误;对于D,y=sin|x|的图象关于y轴对称,周期不为π,故D错误;对于B,y=|cos x|,相当于将y=cos x在x轴下方的图象翻折上来,因此最小正周期为π,故选B.
9.　-4　∵f(x)==3-,∴当sin x=1时,最大值y=;当sin x=-1时,最小值y=-4.
10.解(1)当a=1时,f(x)=-sin2x+sin x+1,
令t=sin x,-1≤t≤1,
则y=-t2+t+1=-(t-)2+,
当t=时,函数f(x)的最大值是,
当t=-1时,函数f(x)的最小值是-1,
∴函数f(x)的值域为[-1,].
(2)当a>0时,f(x)=-sin2x+asin x+1=-(sin x-)2+1+,
当≥1,a≥2时,当且仅当sin x=1时,f(x)max=a,
又函数f(x)的最大值是3,∴a=3;
当0<<1,0又函数f(x)的最大值是3,∴1+=3,∴a=2,
又0综上,实数a的值为3.
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