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2025湘教版数学必修第一册
5.3.2　正切函数的图象与性质
A级 必备知识基础练
1.当-A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.不是对称图形
2.函数y=2tan(x-)的对称中心坐标是(　　)
A.(2kπ+,0)(k∈Z) B.(2kπ+,0)(k∈Z)
C.(kπ+,0)(k∈Z) D.(kπ+,0)(k∈Z)
3.函数f(x)=3tan(-2x)的单调区间为　　　　　　　　　　.
4.函数y=3tan(2x-)的单调区间为　　　　　　　　　　.
5.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.
B级 关键能力提升练
6.函数f(x)=tan(-x)的单调递减区间为(　　)
A.(kπ-,kπ+),k∈Z
B.(kπ-,kπ+),k∈Z
C.(kπ-,kπ+),k∈Z
D.(kπ,(k+1)π),k∈Z
7.直线y=a与y=tan x的图象的相邻两个交点的距离是(　　)
A. B.π
C.2π D.与a的值的大小有关
8.[2024甘肃高一统考期末]已知函数f(x)=|tan x|,下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为
B.函数f(x)在区间上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=2 024π对称
D.函数f(x)是奇函数
C级 学科素养创新练
9.已知函数f(x)=x2+2x·tan θ-1,x∈[-1,],θ∈(-).
(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.
答案：
1.C　由题意得定义域关于原点对称,又tan|-x|=tan|x|,故原函数是偶函数,其图象关于y轴对称,故选C.
2.C　令(k∈Z),解得x=kπ+,k∈Z,故函数的对称中心为(kπ+,0)(k∈Z),故选C.
3.(-),k∈Z　因为函数f(x)=3tan(-2x)=-3tan 2x,
所以单调递减区间为-+kπ<2x<+kπ,即-4.(-)(k∈Z)　令-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-所以函数f(x)的单调区间为(-)(k∈Z).
5.解∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
6.B　f(x)=tan(-x)=-tan(x-),由kπ-7.B　直线y=a与y=tan x的图象的相邻两个交点的距离是一个周期,∴y=tan x的最小正周期T=π,∴直线y=a与y=tan x的图象的相邻两个交点的距离是π.
8.C　对于A,由于f,f=f,因此f≠f,故A错误;
对于B,当x∈时,f(x)=-tan x,则函数f(x)在区间上是减函数,故B错误;
对于C,f(2 024π-x)=|tan(2 024π-x)|=|tan x|=|tan(2 024π+x)|=f(2 024π+x),
因此函数f(x)的图象关于直线x=2 024π对称,故C正确;
对于D,由于f(-x)=|tan(-x)|=|tan x|=f(x),因此函数f(x)是偶函数,不是奇函数,故D错误.故选C.
9.解(1)当θ=-时,
f(x)=x2-x-1=(x-)2-(x∈[-1,]),
∴当x=时,f(x)min=-;
当x=-1时,f(x)max=.
(2)函数f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≤-1或-tan θ≥.
∴tan θ≥1或tan θ≤-.
解得θ的取值范围是[)∪(-,-].
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