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2025湘教版数学必修第一册
5.4　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象
A级 必备知识基础练
1.已知函数y=3sin 2x的图象为C,为得到函数y=3sin(2x+)的图象,只需把C上的所有点(　　)
A.纵坐标不变,横坐标向左平移个单位长度
B.纵坐标不变,横坐标向右平移个单位长度
C.纵坐标不变,横坐标向左平移个单位长度
D.纵坐标不变,横坐标向右平移个单位长度
2.函数y=sin 2x图象可以由函数y=sin(2x+)如何平移得到(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
3.将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos(2x+φ)(0<φ<)的图象,则φ的值为(　　)
A. B.
C. D.
4.(多选题)为得到函数y=cos x的图象,可以把y=sin x的图象向右平移φ个单位长度得到,那么φ的值可以是(　　)
A. B.
C. D.
5.某简谐振动解析式为函数y=sin(ωx+φ)(ω>0),初相和频率分别为-π和,则它的运动周期为　　　　,相位是　　　　.
6.把函数f(x)=cos(2x-)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是　　　　　.
7.某振动物体的运动方程是f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<),下表是用“五点法”画该运动方程在某一个周期内的图象时所列表格.
ωx+φ 0 π 2π
x ① ② ③
Asin(ωx+φ) 0 2 0 -2 0
(1)①为　　　　,②为　　　　,③为　　　;(直接写出结果即可)
(2)求该运动物体的振幅、频率、初相;
(3)将y=f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象的解析式.
B级 关键能力提升练
8.将函数y=cos x的图象经过怎样的平移,可以得到函数y=sin(x+)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
9.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度,若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于(　　)
A.4 B.6
C.8 D.12
10.将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的,则所得图象的函数解析式为　　　　　　.
11.若将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)=sin 2x的图象,则φ的最小值为　　　　　.
12.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=Asin x的图象,则ω=　　　　,φ=　　　　.
13.已知函数f(x)=sin(2x-).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象(先在所给的表格中填上所需的数字,再画图);
x
2x-
f(x)
(2)求f(x)的单调递增区间.
C级 学科素养创新练
14.将函数y=cos(2x-)图象上的点G(,n)向右平移m(m>0)个单位长度得到点G',若G'位于函数y=sin 2x的图象上,则(　　)
A.n=,m的最小值为
B.n=,m的最小值为
C.n=,m的最小值为
D.n=,m的最小值为
答案：
1.A　因为y=3sin=3sin,为得到函数y=3sin的图象,只需把C上的所有点纵坐标不变,横坐标向左平移个单位长度.故选A.
2.D　将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到y=sin[2(x-)+]=sin 2x,故选D.
3.D　将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度,可得y=cos[2(x+)]=cos(2x+)的图象,故φ=,故选D.
4.BD　y=sin x=cos(-x)=cos(x-),向右平移φ个单位长度后得到y=cos(x-φ-),所以φ+=2kπ,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z.所以φ的值可以是.
5.　3πx-π　因为频率f=,所以T=,所以ω==3π.所以相位ωx+φ=3πx-π.
6.　由已知得g(x)=cos,故最小正周期T=.
7.解(1)①-,②,③.
(2)根据表中已知数据可得A=2,,
因此T=π,ω=2,当x=-时,2×(-)+φ=kπ(k∈Z),则φ=,∴函数表达式为f(x)=2sin(2x+).
因此振幅为2,频率为,初相为.
(3)由(2)知f(x)=2sin(2x+),
∴g(x)=2sin[2(x+)+]=2sin(2x+).
8.C　由于y=cos x=sin(x+),则y=sin(x+)=sin(x+),因此将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度得到y=sin(x+)的图象.故选C.
9.B　y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=sin=sin,其图象与原图象重合,有ω=2kπ(k∈Z),即ω=4k(k∈Z).故ω的值不可能为6.故选B.
10.y=sin(4x+)　将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin(2x+)的图象;
再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍,则所得图象的函数解析式为y=sin(4x+).
11.　因为函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到y=sin(2x+2φ-),所以2φ-=2kπ(k∈Z).∴φ=+kπ(k∈Z).∵φ>0,∴φ的最小值为.
12.　y=Asin x的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin(x+)的图象,再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍,得到y=Asin(x+)的图象即为f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,所以ω=,φ=.
13.解(1)分别令2x-=0,,π,,2π,可得
x
2x- 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
画出函数f(x)在一个周期上的图象如图所示:
(2)令-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
14.D　将G(,n)代入y=cos(2x-)可得n=cos()=cos,即G(),G()向右平移m(m>0)个单位长度得到点G'(+m,)在y=sin 2x的图象上,则sin 2(+m)=,得cos 2m=,得2m=2kπ±,k∈Z,得m=kπ±,k∈Z,又m>0,故m的最小值为.故选D.
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