资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025湘教版数学必修第一册
第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用
A级 必备知识基础练
1.下列各点中,可以作为函数f(x)=2cos(x+)+1图象的对称中心的是(　　)
A.(,1) B.(,1)
C.(,0) D.(,0)
2.函数y=sin(x+)的图象沿x轴向左平移个单位长度后得到函数y=g(x),则函数y=g(x)的对称轴可以是(　　)
A.x=- B.x=
C.x= D.x=-
3.将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于原点对称,则|φ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
4.(多选题)[2024甘肃酒泉高一统考期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则下列说法正确的有(　　)
A.ω=2
B.函数y=f为偶函数
C.函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称
D.函数y=f(x)在上的最小值为-
5.将函数f(x)=sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为　　　　　　　　　,函数g(x)的对称轴方程为　　　　　　　　　　.
6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<),函数y=f(x-)为奇函数.
(1)求函数f(x)的对称中心坐标;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求x∈[0,]时,函数g(x)的值域.
B级 关键能力提升练
7.若函数y=cos(ωx+φ)关于点(x0,0)对称,那么对函数f(x)=sin(ωx+φ),则有f(x0)=(　　)
A.1 B.-1
C.±1 D.0
8.将偶函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,得到的曲线的对称中心为(　　)
A.(,0)(k∈Z)
B.(,0)(k∈Z)
C.(,0) (k∈Z)
D.(,0)(k∈Z)
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象(　　)
A.关于点(,0)对称
B.关于直线x=对称
C.关于点(,0)对称
D.关于直线x=对称
10.设ω>0,函数y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是(　　)
A. B.
C. D.3
11.若函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间[0,a]上单调递增,则a的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
12.已知函数f(x)=cos(2x+φ)( |φ|<),从①、②、③这三个条件中选择一个作为已知条件.①(,0)为f(x)的图象的一个对称中心;②当 x=时,f(x)取得最大值;③f()=-.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)的图象上的各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度,得到y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在(0,π)上的单调递减区间.
C级 学科素养创新练
13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在 x=处取得最小值,则(　　)
A.f(x+)一定是奇函数
B.f(x+)一定是偶函数
C.f(x-)一定是奇函数
D.f(x-)一定是偶函数
答案：
1.B　x=时,f(x)=2cos()+1=1,故B符合题意.
2.A　函数y=sin(x+)=cos x图象沿x轴向左平移个单位长度后得到g(x)=cos(x+),
结合选项可知选A.
3.A　平移后解析式为g(x)=cos[2(x-)+φ]=cos(2x-+φ),其图象关于原点对称,则φ-=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,易知|φ|最小值为.故选A.
4.ACD　由函数的图象可得A=2,由,
解得ω=2,故A正确;
再根据五点法可得2×+φ=+2kπ,k∈Z,
又因为|φ|<,解得φ=,
从而f(x)=2sin,
所以y=f=2sin 2x,
即函数y=f为奇函数,故B错误;
当x=-时,2x+=-,故C正确;
当x∈时,2x+,
因为,
所以y=f(x)在上单调递增,
所以当x=-时,f(x)min=f=-,故D正确.
故选ACD.
5.g(x)=sin(2x-)　x=(k∈Z)　将函数f(x)=sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到f(x)=sin 2x,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin(2x-),由2x-=kπ+(k∈Z),解得x=(k∈Z).
6.解(1)由题意知,y=f(x-)=sin(2x+φ-)为奇函数,所以φ-=kπ(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z).
因为0<φ<,所以k=0,φ=.
所以f(x)=sin(2x+).
由2x+=kπ可知x=,k∈Z.
即函数f(x)的对称中心坐标为(,0)(k∈Z).
(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度得y=sin[2(x-)+],即y=sin(2x-),再将图象上各点的横坐标缩小到原来的,得g(x)=sin(4x-),
因为x∈[0,],所以4x-∈[-].
因此g(x)=sin(4x-)∈[-,1],因此函数g(x)的值域为[-,1].
7.C　由函数y=cos(ωx+φ)关于点(x0,0)对称可知ωx0+φ=kπ+(k∈Z),因此f(x0)=sin(ωx0+φ)=sin(kπ+)=±1.
8.D　∵f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π)为偶函数,∴φ=,∴f(x)=cos 3x,∴f(x-)=cos(3x-).
令3x-=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z).故选D.
9.D　由题意,因为最小正周期为π,所以ω==2,则平移后的图象的解析式为y=sin[2(x-)+φ]=sin(2x-π+φ),此时函数是奇函数,所以-π+φ=kπ(k∈Z),则φ=π+kπ(k∈Z),因为|φ|<,当k=-1时,φ=-,
所以f(x)=sin(2x-),
令2x-=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),
即对称点为(,0);
令2x-+kπ(k∈Z),则对称轴为x=(k∈Z),
当k=0时,x=,故选D.
10.C　函数y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位长度后得y=sin[ω(x-)+]+2=sin(ωx+)+2,所以有=2kπ,∴ω=.
∵ω>0,∴k≥1,∴ω=,故选C.
11.A　函数f(x)向右平移个单位长度得g(x)=f(x-)=sin(2x-),
当x∈[0,a]时,2x-∈[-,2a-],
∵g(x)在[0,a]上单调递增,∴-<2a-,
解得0∴a的最大值为.故选A.
12.解(1)若选①,(,0)为f(x)=cos(2x+φ)(|φ|<)的对称中心,
则2×+φ=+kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=cos(2x+).
若选②,f()=cos(2×+φ)=,
所以2×+φ=2π+2kπ,k∈Z,
解得φ=+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=cos(2x+).
若选③,f()=cos(2×+φ)=-,
所以cos(+φ)=-,
所以+φ=+2kπ,k∈Z或+φ=-+2kπ,k∈Z,
解得φ=+2kπ,k∈Z或φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=cos(2x+).
(2)将f(x)=cos(2x+)的图象上的各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y=cos(4x+),
再将y=cos(4x+)向右平移个单位长度得到y=cos[4(x-)+]=cos(4x-),
即g(x)=cos(4x-),
令0+2kπ≤4x-≤π+2kπ,k∈Z,
解得≤x≤,k∈Z,
即函数的单调递减区间为[],k∈Z.
因为x∈(0,π),所以函数g(x)=cos(4x-),在x∈(0,π)上的单调递减区间为[]和[].
13.B　函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=处取得最小值,即函数f(x)关于直线x=对称,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后其图象关于直线x=0(即y轴)对称,即将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后其图象对应的函数f(x+)为偶函数,故选项B正确,故选B.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑