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2025湘教版数学必修第一册
5.5　三角函数模型的简单应用
A级 必备知识基础练
1.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π)部分图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为(　　)
A.y=sin(2x+)
B.y=sin(2x-)
C.y=sin(2x+)
D.y=sin(2x-)
2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由s1=5sin(2t+),s2=10cos 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是(　　)
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能确定
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为(　　)
A.5 B.6
C.8 D.10
4.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列时间段中,车流量增加的是(　　)
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
5.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,若|φ|<,则这个振子振动的函数解析式是　 .
6.某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sin(t-)+20(t∈[0,24]),则这一天的最低气温是 　℃.
7.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin(2πt+).
(1)作出函数的图象.
(2)当单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置的距离是多少
(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的距离是多少
(4)单摆来回摆动一次需多长时间
B级 关键能力提升练
8.在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3 cm,周期为3 s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时,则物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式为(　　)
A.x=sin(t-) B.x=3sint
C.x=sin(3t+) D.x=3sin(t+)
9.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为(　　)
10.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示.为了得到g(x)=-Acos ωx的图象,只需把y=f(x)的图象上所有的点(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
11.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P0(),当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:s)的函数关系为(　　)
A.y=sin(t+) B.y=sin(-t-)
C.y=sin(-t+) D.y=sin(-t-)
12.(多选题)如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
13.已知某种交流电电流I(单位:A)随时间t(单位:s)的变化规律可以用函数I=5sin(100πt-)表示,t∈[0,+∞),则这种交流电电流在0.5 s内往复运行
　　　　次.
C级 学科素养创新练
14.如图为一个观光缆车示意图,该观光缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA所在直线与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设点B与地面距离为h m.
(1)求h与θ间关系的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB,求h与t间关系的函数解析式.
15.为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,景区的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物
答案：
1.D　由图可知A=T=,∴T=π.
∴ω==2.∵f()=sin(2×+φ)=0,
∴φ=kπ-(k∈Z).
∴当k=0时,可得φ=-,此时,可得f(x)=sin(2x-).故选D.
2.C　当t=时,s1=5sin()=5sin=-5,s2=10cos=10×(-)=-5,故s1=s2.
3.C　由题意可知当sin(x+φ)取最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,∴y=3sin(x+φ)+5,当sin(x+φ)取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.
4.C　当10≤t≤15时,有π<5≤π,此时F(t)=50+4sin单调递增,即车流量在增加.故选C.
5.y=2sin(t+)　由题图可设y=Asin(ωt+φ),则A=2,又T=2(0.5-0.1)=0.8,所以ω=π,所以y=2sin(πt+φ),将点(0.1,2)代入y=2sin(t+φ)中,得sin(φ+)=1,所以φ+=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z,令k=0,得φ=,所以y=2sin(t+).
6.14　因为0≤t≤24,所以-t-,故当t-=-,即t=2时,函数取最小值-6+20=14.
7.解(1)利用“五点法”可作出其图象,如图.
(2)因为当t=0时,s=6sin=3,所以此时离开平衡位置3 cm.
(3)离开平衡位置6 cm.
(4)因为T==1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
8.D　设位移x关于时间t的函数为x=f(t)=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则A=3,周期T==3,故ω=,由题意可知当t=0时,f(t)取得最大值3,故3sin φ=3,故φ=+2kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,x=3sin(t+).故选D.
9.C　由题意可得f(x)=0≤f(x)≤,排除A,B,D,选项C满足函数的图象,故选C.
10.B　由图象可知A=1,T=4()=π,所以ω==2,f(x)=cos(2x+φ).当x=时,f(x)=cos(2x+φ)有最小值,所以2×+φ=π+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),又因为|φ|<,所以k=0,φ=-.所以f(x)=cos(2x-),g(x)=-cos 2x=cos(2x-π),所以只需要把f(x)=cos(2x-)图象上所有的点向右平移个单位长度得cos[2(x-)-]=cos(2x-π)=-cos 2x=g(x),故选B.
11.C　设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.
由=60,得|ω|=,∴ω=-.
∴y=sin.
又当t=0时,y=,∴φ=.∴y=sin.
12.ABD　由题干图可知,=0.7-0.3=0.4,所以T=0.8;最小值为-5,所以振幅为5 cm;在0.1 s和0.5 s时,质点到达运动的端点,所以速度为0.
13.25　周期T=(s),从而频率为每秒50次,0.5 秒往复运行25次.
14.解 (1)由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
当<θ≤π时,∠BOM=θ-.
h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin.
当0≤θ≤,π<θ≤2π时,上述解析式也适合,
则h与θ间的函数解析式为h=5.6+4.8sin.
(2)点在☉O上逆时针运动的角速度是(rad/s),
∴t秒转过的弧度数为t,
∴h=4.8sin+5.6,t∈[0,+∞),
即h=-4.8cost+5.6,t∈[0,+∞).
15.解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在区间[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
根据上述分析可得,=12,
故ω=,且解得
根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,故sin(2×+φ)=-1,且sin(8×+φ)=1.
又因为0<|φ|<π,故φ=-.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)=200sin(x-)+300.
(2)由条件可知,200sin(x-)+300≥400,化简得sin(x-)≥ 2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N+,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.
即只有6月份、7月份、8月份、9月份、10月份要准备400份以上的食物.
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