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2025湘教版数学必修第一册
6.4.2　用样本估计总体的离散程度
A级 必备知识基础练
1.在样本方差的计算公式s2=[(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2]中,数字10和20分别表示样本的(　　)
A.样本容量,方差 B.平均数,样本容量
C.标准差,平均数 D.样本容量,平均数
2.某学生一周每日睡眠时间分别是7,6,8,7,5,9,7(单位:小时),则该组数据的方差为(　　)
A. B.
C.7 D.10
3.同一总体的两个样本,甲样本的方差是ln 2,乙样本的方差是1,则(　　)
A.甲的样本容量比乙小
B.甲的波动比乙大
C.乙的波动比甲大
D.乙的平均数比甲小
4.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图,分别表示甲、乙两组数据的方差,则大小关系正确的是(　　)
A. B.
C. D.无法确定
5.若a1,a2,…,a2 020的平均数、方差分别是2和1,则bi=3ai+2(i=1,2,…,2 020)的平均数为　　　,方差为　　　　.
6.甲、乙两位同学进行投篮比赛,每人玩5局.每局在指定线外投篮,若第1次不进,则再投第2次,依此类推,但最多只能投6次.当投进时,该局结束,并记下投篮的次数;若第6次投不进,该局也结束,记为“×”.在每局中,第1次投进得6分,第2次投进得5分,第3次投进得4分,……,第6次投进得1分,若第6次投不进,得0分.两人的投篮情况如下:
局数 第1局 第2局 第3局 第4局 第5局
甲 5次 × 4次 5次 1次
乙 × 2次 4次 2次 ×
请判断哪位同学投篮的水平较高.
B级 关键能力提升练
7.一组数据8,12,x,11,9的平均数是10,则这组数据的方差是(　　)
A.2 B.1
C.2 D.3
8.某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师中有3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校有中级职称和高级职称的所有教师年龄的平均数和方差.
答案：
1.D　由于s2=[(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2],所以样本容量是10,平均数是20.故选D.
2.B　(7+6+8+7+5+9+7)÷7=7,s2=(02+12+12+02+22+22+02)=×10=.故选B.
3.C　∵同一总体的两个样本,甲样本的方差是ln 2,乙样本的方差是1,ln 2<1,∴乙的波动比甲大.故选C.
4.C　从图象可以看出甲数据频率分布折线比较平缓,说明甲数据均匀分散在平均数两侧,远离平均数的数据较多,方差大;而乙数据折线图比较瘦高,说明数据集中在平均数附近,远离平均数的数据较少,方差更小.综上所述.故选C.
5.8　9　由平均数与方差的性质可知=3+2=8,bi的方差s2=9×1=9.
6.解甲同学投篮的水平较高.理由如下:
依题意,甲、乙两位同学的得分情况如下表:
局数 第1局 第2局 第3局 第4局 第5局
甲 2 0 3 2 6
乙 0 5 3 5 0
通过计算,可得=2.6,
=2.6,
[(2-2.6)2+(0-2.6)2+(3-2.6)2+(2-2.6)2+(6-2.6)2]=3.84,
[(0-2.6)2+(5-2.6)2+(3-2.6)2+(5-2.6)2+(0-2.6)2]=5.04.
所以.故甲同学投篮的水平较高.
7.A　由题意=10,解得x=10,所以方差为s2==2.
8.解由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
=45(岁),
年龄的方差为[3×(58-45)2+5×(40-45)2+2×(38-45)2]=73,
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
×38+×45≈39.2(岁),
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2=[2+(38-39.2)2]+[73+(45-39.2)2]=20.64.
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