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2025湘教版数学必修第一册
6.4.3　用频率分布直方图估计总体分布
A级 必备知识基础练
1.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[20,40)(单位:元)的同学有34人,则n的值为(　　)
A.900 B.1 000
C.90 D.100
2.一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、五组的频数都为8,第二、四组的频率都为,则第三组的频数为(　　)
A.16 B.20
C.24 D.36
3.(多选题)某大学生暑假到工厂参加生产劳动,生产了100件产品,质检人员测量其长度(单位:厘米),将所得数据分成6组:[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],得到如下所示的频率分布直方图,则对这100件产品,下列说法中正确的是(　　)
A.b=0.25
B.长度落在区间[93,94)内的个数为35
C.长度的平均数为94
D.长度的中位数一定落在区间[93,94)内
B级 关键能力提升练
4.一个样本容量为50的样本数据分组如下:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],其中样本数据在[10,20)和[40,50)内的频率之和为0.7,[20,30),[30,40)对应的频数分别为4,5,则样本数据在[50,60]内的频数为(　　)
A.4 B.6
C.11 D.21
5.(多选题)在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中正确的是(　　)
A.成绩在[70,80)分的考生人数最多
B.不及格的考生人数为1 000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D.考生竞赛成绩的中位数为75分
6.(多选题)某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若不低于80分的人数是35人,且同一组中的数据用该组区间的中点值代表,则下列说法中正确的是(　　)
A.该班的学生人数是50
B.成绩在[80,90)的学生人数是12
C.估计该班成绩的众数是95分
D.估计该班成绩的方差为100
7.为了了解某校学生的体重情况,采用随机抽样的方法调查.将样本体重数据整理后,画出了频率分布直方图如图所示.已知图中从左到右前三个小长方形面积之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,则全校共抽取人数为　　　　.
8.我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)设该市有10万个家庭,估计全市月均用水量不低于3 t的家庭数;
(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计全市家庭月均用水量的平均数.
C级 学科素养创新练
9.(多选题)如图,海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品产量(单位:kg),其频率分布直方图如图所示.
旧养殖法
新养殖法
根据频率分布直方图,下列说法正确的是(　　)
A.新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值
B.新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值
C.新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值
D.新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍
答案：
1.D　由题意,支出在[20,40)(单位:元)的同学有34人.由频率分布直方图可知,支出在[20,40)的同学的频率为(0.01+0.024)×10=0.34,∴n==100.故选D.
2.C　因为频率=,所以第二、四组的频数都为72×=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.
3.ABD　由频率和为1,得(0.35+b+0.15+0.1×2+0.05)×1=1,解得b=0.25,所以A正确.长度落在区间[93,94)内的个数为100×0.35=35,所以B正确.长度的平均数为90.5×0.1+91.5×0.1+92.5×0.25+93.5×0.35+94.5×0.15+95.5×0.05=93,故C错误.[90,93)内有45个数,[94,96]内有20个数,所以长度的中位数一定落在区间[93,94)内,所以D正确.故选ABD.
4.B　由题可得,样本数据在[20,30),[30,40),[50,60]内的频率之和为1-0.7=0.3,又[20,30),[30,40)对应的频数分别为4,5,所以样本数据在[50,60]内的频数为50×0.3-4-5=6,故选B.
5.ABC　由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4 000×0.25=1 000,故B正确;由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,[70,80)的频率为0.3,所以中位数为70+10×≈71.67,故D错误,故选ABC.
6.ACD　由题图可知a=0.1-0.01-0.02-0.04=0.03,从而不低于80分的频率为(0.03+0.04)×10=0.7,所以该班的学生人数是=50,所以A选项正确;成绩在[80,90)的频率为0.3,所以成绩在[80,90)的学生人数是50×0.3=15,所以B选项不正确;因为在频率分布直方图中,众数是最高矩形的中点的横坐标,所以=95,所以C选项正确;因为=0.1×65+0.2×75+0.3×85+0.4×95=85,所以s2=0.1×(65-85)2+0.2×(75-85)2+0.3×(85-85)2+0.4×(95-85)2=100,所以D选项正确.故选ACD.
7.48　由题意,得频率分布直方图左边三组的频率和为1-5×(0.037 5+0.012 5)=0.75,
所以全校抽取的人数为12÷(0.75×)=48.
8.解 (1)因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1,所以(0.12+0.22+0.36+a+0.12)×1=1,解得a=0.18.
(2)抽取的样本中,月均用水量不低于3 t的家庭所占比例为(a+0.12)×1=0.3=30%,因此估计全市月均用水量不低于3 t的家庭所占比例也为30%,所求家庭数为100 000×30%=30 000.
(3)因为0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46,因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46.
9.BCD　对于A,旧养殖法的平均数=27.5×0.06+32.5×0.07+37.5×0.12+42.5×0.17+47.5×0.2+52.5×0.16+57.5×0.1+62.5×0.06+67.5×0.06=47.1,
所以=(27.5-47.1)2×0.06+(32.5-47.1)2×0.07+(37.5-47.1)2×0.12+(42.5-47.1)2×0.17+(47.5-47.1)2×0.2+(52.5-47.1)2×0.16+(57.5-47.1)2×0.1+(62.5-47.1)2×0.06+(67.5-47.1)2×0.06=107.34.
新养殖法的平均数
=37.5×0.02+42.5×0.1+47.5×0.22+52.5×0.34+57.5×0.23+62.5×0.05+67.5×0.04=52.35,
所以=(37.5-52.35)2×0.02+(42.5-52.35)2×0.1+(47.5-52.35)2×0.22+(52.5-52.35)2×0.34+(57.5-52.35)2×0.23+(62.5-52.35)2×0.05+(67.5-52.35)2×0.04=39.727 5.
因为,所以新网箱产量的方差的估计值小于旧网箱产量的方差的估计值,故A错误;
对于旧养殖法中,左边4个矩形的面积和为(0.012+0.014+0.024+0.034)×5=0.42,并且由于区间[45,50]的频率为0.04×5=0.2,因此旧养殖法的中位数在45和50之间.新养殖法中,左边三个矩形的面积和为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34,第4个矩形[50,55]所占的概率为0.068×5=0.34,所以其中位数在50和55之间,因此新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值,所以B正确;
对于③,因为=47.1,=52.35,所以新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值,故C正确;
对于D,旧网箱频率最高组总产量估计值为47.5×100×0.2=950,新网箱频率最高组的总产量的估计值为52.5×100×0.34=1 785,所以新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍,故D正确.
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