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2025湘教版数学必修第一册
第2章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x2<1},B={x|x>0},则A∩B=(　　)
A.(0,1) B.(-1,+∞)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
2.下列不等式正确的是(　　)
A.若aB.若a>b,则ac>bc
C.若a>b>0,c>d>0,e>f>0,则ace>bdf
D.若a>b>c>0,d>e>f>0,则
3.已知实数a,b满足1≤a+b≤3,-1≤a-b≤1,则4a+2b的取值范围是(　　)
A.[0,10] B.[2,10]
C.[0,12] D.[2,12]
4.在区间[,2]上,关于x的不等式mx2-4x+1<0有解,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,4] B.(-∞,)
C.(-∞,4) D.(-∞,3)
5.若两个正实数x,y满足=1,且关于x,y的不等式x+A.(-1,4) B.(-4,1)
C.(-∞,-1)∪(4,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)
6.若关于x的方程-x2+ax+4=0的两个实根中一个小于-1,另一个大于2,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,0)∪(3,+∞)
7.关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(　　)
A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3)
C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
8.已知正数x,y满足20x+21y=xy,则的最小值为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若关于x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的可能取值是(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
10.设实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则下列不等式成立的是(　　)
A.cC.b≤a D.a11.设正实数a,b满足a+b=1,则(　　)
A.有最大值 B.有最小值3
C.a2+b2有最小值 D. 有最大值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.不等式>0的解集为　　　　　　　　.
13.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=　　　　.
14.已知x,y均为正实数,且满足=1,则x+y的最小值为　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)解下列不等式:
(1)x2-4x+3≤0;
(2)≥0.
16.(15分)已知a>0,b>0,且a≠b,比较与a+b的大小.
17.(15分)已知m>0,n>0,关于x的不等式x2-mx-20<0的解集为{x|-2(1)求m,n的值;
(2)正实数a,b满足na+mb=2,求的最小值.
18.(17分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;
(2)假设关于x的不等式ax2+bx+3≥0的解集为R,求实数b的取值范围.
19.(17分)某呼吸机生产企业为了提高产品的产量,投入90万元安装了一台新设备,并立即进行生产,预计使用该设备前n(n∈N+)年的材料费、维修费、人工工资等共(n2+5n)万元,每年的销售收入为55万元.设使用该设备前n年的总盈利额为y万元.
(1)写出y关于n的函数关系式,并估计企业使用该设备从第几年开始盈利.
(2)使用若干年后,对该设备处理的方案有两种.
方案一:当总盈利额达到最大值时,该设备以10万元的价格处理;
方案二:当年平均盈利额达到最大值时,该设备以50万元的价格处理.
问哪种方案处理较为合理,并说明理由.
答案：
1.A　∵A={x|x2<1}={x|-10},
∴A∩B={x|02.C　对于A,若a=-3,b=2,则a2>b2,错误;对于B,若c=0,则ac=bc,错误;对于C,若a>b>0,c>d>0,e>f>0,由不等式的基本性质可得ace>bdf,正确;对于D,若a=3,b=2,c=1,d=3,e=2,f=1,则=1,错误.故选C.
3.B　因为4a+2b=3(a+b)+(a-b),所以3×1-1≤4a+2b≤3×3+1,即2≤4a+2b≤10.
4.C　在区间[,2]上,不等式mx2-4x+1<0有解等价于当x∈[,2]时,不等式m<-有解.设t=,则t∈[,3],所以m<-t2+4t=-(t-2)2+4,
令y=-(t-2)2+4,则y的最大值是4,
所以m的取值范围是(-∞,4).故选C.
5.C　()(x+)=2+≥2+2=4,当且仅当y=4x=8时等号成立,则x+≥4,当且仅当y=4x=8时等号成立,不等式x+4,解得m<-1或m>4.
6.A　由题意,可得所以07.A　∵关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),
∴∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)>0,解得x<-1或x>3.∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(-∞,-1)∪(3,+∞).故选A.
8.C　由20x+21y=xy,得=1,
=()()=2+≥2+2=2+2=4,当且仅当=1,即x=42,y=40时等号成立.故选C.
9.CD　∵x的方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,∴k≠0且Δ=4-4k×(-1)>0,解得k>-1,∴k的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞),故k可以取1,2.
10.BD　由题意知,b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,
两式相减得2b=2a2+2,即b=a2+1,则b≥1,故B正确;
又b-a=a2+1-a=(a-)2+>0,∴b>a,故C错误;
∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,
∴c≥b,故A错误;从而c≥b>a,故D正确.故选BD.
11.ACD　,当且仅当a=b=时等号成立,故A正确;(3a+3b)()=[(a+2b)+(2a+b)]()=(2+)≥(2+2)=,当且仅当a=b=时等号成立,故B错误;a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2×()2=,当且仅当a=b=时等号成立,故C正确;()2=a+b+2≤2(a+b)=2,则,当且仅当a=b=时等号成立,故D正确.故选ACD.
12.(-∞,0)∪(1,+∞)　由>0,解得x<0或x>1,即原不等式的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).
13.20　每年购买次数为.总费用=·4+4x≥2=160,当且仅当=4x,即x=20时等号成立,故x=20.
14.6　由=1可得xy=x+y+3.又xy≤,∴≥x+y+3,即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,∴(x+y-6)(x+y+2)≥0,∴x+y≤-2或x+y≥6.又x,y均为正实数,∴x+y≥6(当且仅当x=y=3时等号成立),即 x+y的最小值为6.
15.解(1)x2-4x+3≤0,即(x-3)(x-1)≤0,解得1≤x≤3,所以不等式的解集为{x|1≤x≤3}.
(2)≥0等价于解得x≤-2或x>,所以不等式的解集为.
16.解()-(a+b)=-b+-a==(a2-b2)()=(a2-b2).
∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0,ab>0.
∴()-(a+b)>0,∴>a+b.
17.解(1)根据题意,不等式x2-mx-20<0的解集为{x|-2(2)正实数a,b满足na+mb=2,即10a+8b=2,即5a+4b=1,
所以=()(5a+4b)=5+≥5+2=9,
当且仅当5a=2b时等号成立.故的最小值为9.
18.解(1)由题意知,1-a<0,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,∴解得a=3.∴不等式2x2+(2-a)x-a>0即2x2-x-3>0,解得x<-1或x>.
∴所求不等式的解集为{x∣x<-1或x>}.
(2)ax2+bx+3≥0即3x2+bx+3≥0,
若此不等式的解集为R,则b2-4×3×3≤0,解得-6≤b≤6.故b的取值范围为{b|-6≤b≤6}.
19.解(1)由题意得y=55n-90-(n2+5n)=-n2+50n-90.由-n2+50n-90>0,即n2-20n+36<0,解得2(2)方案一:总盈利额y=-(n-10)2+160,当n=10时ymax=160.
故方案一总利润为160+10=170(万元),此时n=10.
方案二:年平均利润=50-(n+)≤50-×2=20,当且仅当n=6时等号成立.
故方案二总利润为6×20+50=170(万元),此时n=6.
比较两种方案,获利都是170万元,但由于第一种方案需要10年,而第二种方案需要6年,故选择第二种方案更合理.
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