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2025湘教版数学必修第一册
第3章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=的定义域为(　　)
A. B.
C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)∪
2.下列函数与函数y=x相等的是(　　)
A.y=x2 B.y=
C.y= D.y=
3.函数f(x)=则f(f(2))的值为(　　)
A.-1 B.-3
C.0 D.-8
4.已知二次函数f(x)=m2x2+2mx-3,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)有最大值-4 B.函数f(x)有最小值-4
C.函数f(x)有最大值-3 D.函数f(x)有最小值-3
5.函数f(x)=x3+x的图象关于(　　)
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.原点对称 D.直线y=x对称
6.我国著名的数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数的图象的特征,则函数f(x)=的大致图象为(　　)
7.已知函数f(x)=x2+(k-2)x在[1,+∞)上是增函数,则k的取值范围为(　　)
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
8.若函数y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,又f(3)=0,则<0的解集为(　　)
A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞)
C.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-3,0)∪(3,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列各组函数中的f(x)与g(x)相等的有(　　)
A.f(x)=x与g(x)= B.f(x)=与g(x)=x-3
C.f(x)=与g(x)= D.f(x)=2x+1,x∈Z与g(x)=2x-1,x∈Z
10.已知函数f(x)=满足f(f(a))=-1的a的值有(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.-2
11.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则实数m的值可能为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数y=x2-4x,其中x∈[-3,3],则该函数的值域为　　　　　.
13.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x2+x+2,则f(1)+g(1)=　　　　　.
14.小李自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,小李对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,小李会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　　元;
(2)在促销活动中,为保证小李每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+1,求f(x)在x∈R上的表达式.
16.(15分)已知函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R).
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)在[2,+∞)是增函数,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=mx+(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并证明;
(3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4)成立,求实数x的取值范围.
18.(17分)某口罩厂生产口罩的固定成本为200万元,每生产x万箱,需另投入成本p(x)万元,当产量不足90万箱时,p(x)=x2+40x;当产量不小于90万箱时,p(x)=101x+-2 180,若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.
(1)求口罩销售利润y(单位:万元)关于产量x(单位:万箱)的函数关系式;
(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得的利润最大
19.(17分)已知二次函数f(x)对x∈R都有f(x+1)-f(x)=2x+2成立,且f(1)=3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f(x)-(1+2m)x+1(m∈R)在x∈[-2,3]上的最小值.
答案：
1.D　要使原函数有意义,则解得x≤且x≠-1,故原函数的定义域为(-∞,-1)∪.故选D.
2.B　y==t,t∈R.
3.C　f(2)=22-2-3=-1,f(f(2))=f(-1)=1-(-1)2=0.
4.B　由题知,m2>0,所以f(x)的图象开口向上,函数有最小值f(x)min==-4,故选B.
5.C　f(x)定义域为R,关于原点对称,∵f(-x)=-x3-x=-f(x),∴函数f(x)=x3+x为奇函数,f(x)的图象关于原点对称.故选C.
6.D　∵f(-x)==f(x),∴函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴称,故排除B,C.当x>0时,f(x)==x-,易知函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,故排除A.故选D.
7.B　根据题意,函数f(x)=x2+(k-2)x为图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=-.若函数f(x)=x2+(k-2)x在[1,+∞)上是增函数,则必有-≤1,解得k≥0,即k的取值范围为[0,+∞).故选B.
8.D　∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴<0,即∵f(x)为偶函数且在(0,+∞)内为减函数,∴f(x)在(-∞,0)内是增函数.由f(3)=0知f(-3)=0,∴可化为
∴x>3;可化为
∴-3综上,<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).
9.AC　对于A,f(x)=x,x∈R,g(x)==x,x∈R,f(x)与g(x)的定义域相同,对应关系也相同,f(x)与g(x)相等;
对于B,f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;
对于C,f(x)=g(x)=f(x)与g(x)的定义域相同,对应关系也相同,f(x)与g(x)相等;
对于D,f(x)与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数.
故选AC.
10.AD　根据题意,函数f(x)=
当x≤0时,f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0,
当x>0时,f(x)=-x2<0.若f(f(a))=-1,必有f(a)>0,则f(f(a))=-[f(a)]2=-1,解得f(a)=1.若f(a)=1,必有a≤0,则f(a)=(a+1)2=1,解得a=-2或a=0,故a=-2或0.故选AD.
11.ABC　函数y=x2-4x-4的对称轴为直线x=2.
当02时,最小值为-8,而f(0)=-4,由对称性可知,m≤4,故2故选ABC.
12.[-4,21]　二次函数y=x2-4x=(x-2)2-4的对称轴是直线x=2,且其图象开口向上.在x∈[-3,3]上,当-3≤x≤2时,f(x)是减函数;当213.2　根据题意,f(x)-g(x)=x2+x+2,则f(-1)-g(-1)=(-1)2-1+2=2.又函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1)=2.
14.(1)130　(2)15　(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130(元).
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元,当y<120时,小李得到的金额为y·80%,符合要求.当y≥120时,有(y-x)·80%≥y·70%成立,即8(y-x)≥7y,x≤,即x≤=15.所以x的最大值为15.
15.解因为f(x)是定义域在R上的奇函数,所以f(0)=0,
当x<0时,-x>0,由已知得,f(-x)=(-x)2-2(-x)+1=x2+2x+1=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-1,
所以f(x)=
16.解(1)当a=0时,f(x)=x2,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=(-x)2=x2=f(x),f(x)为偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(a≠0,x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0,即f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1),故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设2≤x14,∴a4,∴x1x2(x1+x2)>16.∴a的取值范围是(-∞,16].
17.解(1)∵f(1)=m+=2,f(2)=2m+,∴
(2)f(x)单调递增,证明如下,设1≤x11,∴2x1x2>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在[1,+∞)内单调递增.
(3)∵1+2x2≥1,x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,需要1+2x2>x2-2x+4,∴x2+2x-3>0,∴x<-3或x>1.
故x的取值范围为(-∞,-3)∪(1,+∞).
18.解(1)当0当x≥90时,y=100x--200=1 980-.∴y=
(2)①当0②当x≥90时,y=1 980-≤1 980-2=1 800>1 600,当且仅当x=,即x=90时y取得最大值,最大值为1 800.综上,当产量为90万箱时,该口罩生产厂在生产中获得利润最大,最大利润为1 800万元.
19.解(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,a≠0,则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+2ax+a+bx+b+c,
f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x+2,即解得a=b=1,即f(x)=x2+x+c,又f(1)=2+c=3,得c=1,
所以f(x)=x2+x+1.
(2)g(x)=x2-2mx+2=(x-m)2+2-m2,对称轴为直线x=m,图象开口向上.
分三种情况:
①当m<-2时,函数y=g(x)在区间[-2,3]内单调递增,g(x)min=g(-2)=6+4m.
②当-2≤m≤3时,g(x)min=g(m)=2-m2.
③当m>3时,函数y=g(x)在区间[-2,3]内单调递减,g(x)min=g(3)=11-6m.
综上,g(x)min=
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