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2025湘教版数学必修第一册
第4章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列函数满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x
C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x
2.函数f(x)=(1-log2x+(2x-3)0的定义域是(　　)
A.(-∞,2) B.(-∞,log23)∪(log23,2)
C.(0,log23)∪(log23,2) D.(0,log23)∪(log23,4)
3.函数f(x)=ln 2x-1的零点位于区间(　　)
A.(2,3) B.(3,4)
C.(0,1) D.(1,2)
4.在一次数学实验中,某同学运用计算器采集到如下一组数据:
x -2 -1 1 2 3
y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02
在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+logbx D.y=a+bx
5.已知a=log2,b=log5,c=3-0.5,则(　　)
A.aC.c6.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
7.函数y=lo(x2-2x)的单调递增区间是(　　)
A.(1,+∞) B.(2,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,0)
8.若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则的取值范围是(　　)
A.(,+∞) B.[1,+∞)
C.(4,+∞) D.(,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设a>b>1,0A.acbc
C.logbc10.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)
A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
11.已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是(　　)
A.a>b>0 B.aC.0三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f[f(2)]=　　　　　.
13.能说明“函数f(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线.若f(0)·f(2)>0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是　　　　　　.
14.已知函数f(x)=其中k≥0.若关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)求值:
(1)(-1)0++(;
(2)lg-ln-log427·log98.
16.(15分)已知函数f(x)=+1(其中a为实数)为奇函数.
(1)判断f(x)的单调性并证明;
(2)解不等式f(1-x)+f(-x2+2)>0.
17.(15分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.
18.(17分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
19.(17分)已知函数f(x)=lg ,f(1)=0,当x>0时,恒有f(x)-f=lg x.
(1)求f(x)的表达式及定义域;
(2)若方程f(x)=lg t有解,求实数t的取值范围;
(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为 ,求实数m的取值范围.
答案：
1.C　f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y).
2.C　要使原函数有意义,则解得03.D　f(x)=ln 2x-1在定义域上是增函数,并且是连续函数,且f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 4-1>0,根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上,故选D.
4.D　由表格数据描点如右:
由图可知,随着x的增大,y也随之增大,并且增长越来越快,由图象的大致走向判断,应选用指数函数模型.故选D.
5.D　∵a=log2>log2=1,b=log5c=3-0.5=,∴b6.A　两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,
令m2=-1.45,m1=-26.7,则lg(m2-m1)=(-1.45+26.7)=10.1,=1010.1,故选A.
7.D　函数y=lo(x2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),设g(x)=x2-2x,x∈(-∞,0)∪(2,+∞),则函数y=log(x)的单调递增区间即g(x)=x2-2x的单调递减区间,而g(x)=x2-2x的单调递减区间为(-∞,0),故选D.
8.B　函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图象交点A的横坐标,函数g(x)=logax+x-4的零点是函数y=logax与函数y=4-x图象交点B的横坐标,由于指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x对称,直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是A,B的中点,∴m+n=4,
∴(m+n)()=(2+)≥1,当且仅当m=n=2时等号成立,故≥1.
9.BC　∵a>b>1,0bc,故A错误;∵ab>bb>bc,∴ab>bc,故B正确;∵logbc=,logac=,0=logc1>logcb>logca,∴,即logbc10.ABC　易知甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x+1,故A正确;当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5(元),故B正确;易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故C正确;当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=×8+,因为y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.
11.ABD　画出函数y=和y=的图象,借助图象分析a,b满足等式时的a,b大小关系,如图所示:
若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b为负数,则a12.0　∵函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,∴f(x)=log2x.∴f[f(2)]=f(log22)=f(1)=log21=0.
13.y=(x-1)2(答案不唯一)　考查函数y=(x-1)2,绘制函数图象如图所示,该函数f(x)的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线,f(0)·f(2)>0,但是函数f(x)在(0,2)内存在零点x=1,故该函数使得原命题为假命题.
14.[0,1)　令f(x)=t,则y=f(t),当k∈[0,1)时,函数f(x)的图象如右图所示.
由f(t)=0 t=1,故函数f(x)的图象与函数y=1的图象有两个交点,所以k∈[0,1)满足题意.
当k∈[1,+∞)时,函数f(x)的图象如下图所示.
由f(t)=0 t=1,则函数f(x)与函数y=1只有一个交点,所以k∈[1,+∞)不满足题意.
综上,k∈[0,1).
15.解(1)(-1)0++(=1+=2.
(2)lg-ln-log427·log98=-2-+3-=-.
16.解(1)f(x)在R上单调递增.
证明如下:f(x)=+1为奇函数,且在x=0处有定义.则f(0)=a+1=0,即a=-2,
所以f(x)=1-.设x1所以f(x)在R上单调递增.
(2)因为f(1-x)+f(-x2+2)>0,所以f(1-x)>-f(-x2+2)=f(x2-2),所以1-x>x2-2,解得17.解(1)要使函数f(x)有意义,则解得-1(2)f(x)是奇函数.理由如下:
∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)若f=2,
∴loga-loga=loga4=2,解得a=2,
∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x),且f(x)为增函数.
若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),
∴解得018.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加得越来越慢.因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,
所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.
由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,所以解得所以该函数模型的解析式是y=×()x(x∈N+).
(2)当x=0时,y=×()0=,
所以元旦放入凤眼莲的面积是 m2.
由×()x>10×,得()x>10,
所以x>lo10=.
因为≈5.7,所以x≥6,
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
19.解(1)∵当x>0时,恒有f(x)-f=lg x,
∴lg-lg=lg x,即(a-b)x2-(a-b)x=0恒成立,∴a=b.又f(1)=0,∴a+b=2,从而a=b=1.∴f(x)=lg.由>0,得x<-1或x>0,∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
(2)∵方程f(x)=lg t有解,∴lg=lg t,即t=(x<-1或x>0)有解.∵x=,∴<-1或>0,解得t>2或0(3)∵方程f(x)=lg(8x+m)的解集为 ,
∴lg=lg(8x+m),即8x2+(6+m)x+m=0在(-∞,-1)∪(0,+∞)上的解集为 .
分两种情况讨论:
①方程8x2+(6+m)x+m=0无解,即Δ<0,解得2②方程8x2+(6+m)x+m=0有解,两根均在[-1,0]内,
令g(x)=8x2+(6+m)x+m,则
解得0≤m≤2.
综合①②得实数m的取值范围是[0,18).
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