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2025湘教版数学必修第一册
第5章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.sin 120°=(　　)
A. B.-
C. D.-
2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　)
A. B.
C.1 D.
3.函数y=的定义域是(　　)
A.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) B.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
C.[2kπ+,2kπ+](k∈Z) D.[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
4.若=2,则sin θcos θ的值是(　　)
A.- B.
C.± D.
5.已知函数f(x)=sin(ωx+)+2(ω>0)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是(　　)
A.6 B.3
C. D.
6.下列区间中,函数f(x)=7sin(x-)单调递增的区间是(　　)
A.(0,) B.(,π)
C.(π,) D.(,2π)
7.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若f(x0)=,则x0等于(　　)
A. B.,k∈Z
C.kπ+,k∈Z D.,k∈Z
8.已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0),f(x1)=f(x2)=-1.若|x1-x2|的最小值为,则ω=(　　)
A. B.1
C.2 D.4
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(　　)
A.第二象限角比第一象限角大
B.60°角与600°角不是终边相同的角
C.正弦函数y=sin x在第一象限是增函数
D.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数为
10.在△ABC中,下列关系式恒成立的有(　　)
A.sin(A+B)=sin C B.cos(A+B)=cos C
C.tan(A+B)=tan C D.cos()=sin
11.下列关于函数y=tan(-2x+)的说法正确的是(　　)
A.在区间(-,-)上单调递减 B.最小正周期是π
C.图象关于点(,0)成中心对称 D.图象关于直线x=-成轴对称
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数f(x)=tan()的定义域是　　　　　　　　　.
13.当x∈[]时,函数y=3-3sin x-2cos2x的最小值是　　　　　.
14.已知θ是第四象限角,sin(θ+)=,则sin(θ-)=　　　　,tan(θ-)=　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设函数f(x)=3sin(ωx+)(ω>0),且以为最小正周期.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的对称轴方程及单调递增区间.
16.(15分)设函数f(x)=,且f(α)=1,α为第二象限角.
(1)求tan α的值;
(2)求sin αcos α+5cos2α的值.
17.(15分)在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形,现有如图所示的两种方案.
(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值;
(2)比较两种方案中的扇形面积的大小.
18.(17分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(ω>0,|φ|<),　　　　　.
请在①函数f(x)的图象关于直线x=对称,②函数y=f(x-)的图象关于原点对称,③函数f(x)在[-π,-]上单调递减,在[-]上单调递增这三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[-]上的值域.
19.(17分)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表:
时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米
0:00 4.25 9:00 1.75 18:00 4.25
3:00 6.75 12:00 4.25 21:00 1.75
6:00 4.25 15:00 6.75 24:00 4.25
(1)设港口在x时刻的水深为y米,现利用函数模型y=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,-π<φ<π)建立这个港口的水深与时间的函数关系式,并求出x=7时,港口的水深.
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),问该船何时能进入港口,何时应离开港口 一天内货船可以在港口待多长时间
答案：
1.C　由诱导公式可知sin 120°=cos 30°=,故选C.
2.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
3.D　由2cos x+1≥0,得cos x≥-,解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.所以函数的定义域是[2kπ-,2kπ+](k∈Z).故选D.
4.B　根据同角三角函数的基本关系式,可得=2,解得tan θ=3,所以sin θcos θ=,故选B.
5.A　函数f(x)=sin(ωx+)+2(ω>0)的图象向右平移个单位后得到的函数解析式为y=sin[ω(x-)+]+2=sin(ωx+)+2,由于平移后的图象与原图象重合,故-=2kπ,解得ω=-6k(ω>0,k∈Z),所以ω的最小值为6.
故选A.
6.A　由题意知x-,k∈Z,即x∈,k∈Z.当k=0时,函数f(x)=7sin的单调递增区间为,∵,∴是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A.
7.B　由图可知,函数周期T=2×,故可得ω==2;又f(π)=0,故可得φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,故可得φ=;又函数过点(0,1),故可得Atan=1,解得A=1.故f(x)=tan(2x+),则f(x0)=,等价于tan(2x+)=,解得2x0+=kπ+,k∈Z,故x0=,k∈Z,故选B.
8.C　由f(x1)=f(x2)=-1,所以2sin ωx1=2sin ωx2=-1,sin ωx1=sin ωx2=-,∴ωx1=+2k1π,k1∈Z,ωx2=+2k2π,k2∈Z,|x1-x2|=,当k1=k2时,|x1-x2|取得最小值.又已知|x1-x2|的最小值为,所以ω=2,故选C.
9.BD　由于100°是第二象限角,400°是第一象限角,因此第二象限角比第一象限角大是不正确的,故选项A错误;因为600°≠k·360°+60°,k∈Z,所以60°角与600°角终边不同,故选项B正确;由于,2π+均是第一象限角,但是两个角的函数值相等,因此选项C不正确;D中,将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数为,选项D正确.故选BD.
10.AD　sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故A正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,故B错误;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,故C错误;cos()=cos=sin,故D正确.故选AD.
11.AC　函数y=tan(-2x+)=-tan(2x-),令-+kπ<2x-+kπ,k∈Z,解得-12.{x∣x≠2kπ+}(k∈Z)　由≠kπ+,k∈Z,解得x≠2kπ+,因此函数f(x)=tan()的定义域是{x∣x≠2kπ+}(k∈Z).
13.-　当x∈[]时,由正弦函数图象可知sin x∈[-,1],函数y=3-3sin x-2cos2x=2sin2x-3sin x+1=2(sin x-)2-,故当sin x=时,函数y取得最小值为-.
14.-　-　由题意sin(θ-)=-sin(θ-+π)=-sin(θ+)=-,
cos(θ-)=sin[(θ-)+]=sin(θ+)=,
又θ是第四象限角,∴θ-是第四象限角,
sin(θ-)=-=-=-,∴tan(θ-)=tan(θ-)==-.
15.解(1)由于函数f(x)=3sin(ωx+)(ω>0),且以为最小正周期,∴,即ω=3,所以f(x)=3sin(3x+);
(2)令3x+=kπ+(k∈Z),求得x=(k∈Z),
故函数y=f(x)的图象的对称轴方程为x=(k∈Z).令2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),
求得≤x≤(k∈Z),可得函数y=f(x)的增区间为[](k∈Z).
16.解(1)∵函数f(x)=,且f(α)=1,α为第二象限角,
∴f(α)==-=-=-2tan α=1,∴tan α=-;
(2)sin αcos α+5cos2α=.
17.解(1)由题意,在顶角为、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形,
方案一:可得∠OAD=,R1=2,所以扇形的周长为C1=2R1+×R1=2×2+=4+;
方案二:可得∠MON=,R2=1,所以扇形的周长为C2=2R2+×R2=2×1+=2+,所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值|C1-C2|===2-.
(2)由(1),根据扇形的面积公式,可得
方案一:扇形面积为S1=α1×22=;
方案二:扇形面积为S2=α2×12=.
所以两方案扇形面积一样大.
18.解(1)若选①,函数f(x)的图象关于直线x=对称,
则2×+φ=+kπ,k∈Z,则φ=+kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=,
所以函数解析式为f(x)=sin(2x+);
若选②,函数y=f(x-)=sin(2x-+φ)图象关于原点对称,则-+φ=kπ,k∈Z,则φ=+kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以函数解析式为f(x)=sin(2x+);
若选③,函数f(x)在[-π,-]上单调递减,在[-]上单调递增,则函数f(x)在x=-处取得最小值,则f(x)=sin[2×(-)+φ]=-1,则2×(-)+φ=-+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以函数解析式为f(x)=sin(2x+).
(2)由题意可得函数g(x)=sin(x-),
因为x∈[-],所以(x-)∈[-],
所以当x-=-时,g(x)min=sin(-)=-1;
当x-时,g(x)max=sin.
所以函数g(x)在[-]的值域为[-1,].
19.解(1)因为港口在0:00时刻的水深为4.25米,结合数据和图象可知h=4.25,A==2.5,因为T=12,所以ω=,所以y=2.5sin(x+φ)+4.25.因为x=0时,y=4.25,代入上式得sin φ=0,因为-π<φ<π,所以φ=0,所以y=2.5sinx+4.25.当x=7时,y=2.5sin+4.25=2.5×(-)+4.25=3,所以在x=7时,港口的水深为3米.
(2)因为货船需要的安全水深是4+1.5=5.5米,所以y≥5.5时,船可以进港,令2.5sinx+4.25≥5.5,则sinx≥,因为0≤x<24,解得1≤x≤5或13≤x≤17,所以货船可以在1时进入港口,在5时出港;或者在13时进港,17时出港.因为(5-1)+(17-3)=8,所以一天内货船可以在港口待的时间为8小时.
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