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江苏省海门中学2025届高三适应性考试试卷
数 学 2025.5
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
1．已知双曲线的离心率为2，则（ ）
A．3 B． C． D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（ ）
A．172 B．204 C．352 D．364
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，若是的一个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
10．已知圆，直线是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则当切线长取最小值时，下列结论正确的是（ ）
A． B．点的坐标为
C．的方程可以是 D．的方程可以是
11．甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为（），则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知全集，集合，集合，则 ．
13．中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ．
14．已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知数列为等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记，求．
16．（本小题满分15分）
已知函数，，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若且恒成立，求的最小值.
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱台中，，，，，，垂足为O，连接BO．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
流感病毒是一种病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：
预防药品 甲流病毒 合计
感染 未感染
未使用 24 21 45
使用 16 39 55
合计 40 60 100
(1)根据的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性；
(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为，求的分布列与数学期望．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．（本小题满分17分）
定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆的方程；
（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；
（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
适应性考试参考答案
1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．C 7．D 8．D
9．BCD 10．BCD 11．AC
12． 13． 14．－1或
7.解：因为，
所以，
设，则，
所以有两个不相等的实根．
于是可设，是的两实根，且，
当时，，
所以当时，当或时，又，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即不是的极值点，此时不合题意；
当且时，由于是的极大值点，故，即，
所以，即的取值范围是．
8.解：如图所示，
取的中点，分别连接，
在正方形中，因为分别为的中点，可得，
所以，，
因为，所以，所以，即，
又因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证：，
又因为且平面，所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的面积为.故选：D.
11.解：因为，A正确；
因为，，所以，B错误；
因为，即，C正确；
因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以，D错误．
13.解：因为，
所以，
即.，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得：.
因为，所以，整理得：，则，
所以，故答案为：.
14.解：因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，又，
，
所以函数是偶函数，又函数有唯一零点，
则的零点为0，所以，
因为是R上的奇函数，所以，
由，解得，所以，解得或.故答案为：或.
15．解：（1）设等差数列的公差为，则，即，则，
则数列为等比数列，设其公比为，由，
得且，解得，所以．
（2）由（1）可得，
所以①，
②，
①②得：
，
所以．
16．解：（1）（），
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
由于，，所以恒成立，
当时，，当时，，
所以，解得：，
所以的最小值为.
17．解：（1）因为，，，
所以，，所以，
因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
（2）因为，，，所以，
同理可得：，所以是等边三角形，
取的中点，连接，所以，
由（1）知，平面，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
取的中点，连接，则，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，设，所以，
所以，所以，
可得.
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成角的为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．解：（1）假设：使用预防药品与对预防甲流无效果，
由列联表可知，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为使用预防药品与对预防甲流有效果，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）设事件表示使用治疗药品并且治愈，事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品，由题意可得，且，
则，
治疗药品的治愈概率，则，
所以，，
，，
所以，随机变量的分布列为
X 0 1 2 3
.
19．解：（1）由椭圆，知.
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆.
（2）设，则.
直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线的斜率不存在时，直线.
若，由，解得，此时.
若，同理得：.
②当直线的斜率存在时，设.
由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得.
∴，则，而.
∴，即.
综上，恒有.
（3）是椭圆上的两个动点且，设，则.
直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有.
∴，，且，
由，解得.
若直线的斜率都存在，设，则.
由，得，有；同理，得.
于是，.
由，可得.
因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上.
∴该定圆的方程为圆.

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