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2025北师大版数学选择性必修第二册
§1　数列的概念及其函数特性
1.1　数列的概念
A级必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)下列叙述不正确的是(　　)
A.同一个数在数列中可能重复出现
B.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数
C.任何数列的通项公式都存在
D.数列的通项公式是唯一的
2.[探究点三]已知数列-,-,-,…,则该数列的第100项为(　　)
A.- B. C. D.-
3.[探究点三]已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N+,则-8是该数列的(　　)
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.非任何一项
4.[探究点三]已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N+,则该数列的前4项依次为 (　　)
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
5.[探究点二·2024山东滨州月考]已知一数列:0,2,-6,12,-20,30,…,则该数列的通项可以表示为　　　　　　.
6.[探究点二]根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.
(1)-1,7,-13,19,…;
(2)0.8,0.88,0.888,….
7.[探究点三]已知数列{an}的通项公式为an=-n2+n+110.
(1)20是不是{an}中的一项
(2)当n取何值时,an=0.
B级关键能力提升练
8.数列{an}满足an=+…+,n∈N+,则a2等于(　　)
A. B.
C. D.
9.(多选题)下列选项中能满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式的有(　　)
A.an= B.an=sin
C.an=cos2 D.an=
10.若数列的前4项分别是,-,-,则此数列的一个通项公式为(　　)
A. B.
C. D.
11.如图是由7个有公共顶点O的直角三角形构成的图案,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为(　　)
A.an=n,n∈N+
B.an=,n∈N+
C.an=,n∈N+
D.an=n2,n∈N+
12.(多选题)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则下列说法正确的是(　　)
A.此数列的第20项是200
B.此数列的第19项是182
C.此数列的通项公式为an=
D.84不是此数列中的项
13.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+,则a1=　　　　　;an+1=　　　　　　　　.
14.323是数列{n(n+2)}的第　　　　项.
15.已知数列{an}的通项公式为an=4n-1.
(1)135,4m+19(m∈N+)是数列{an}中的项吗 为什么
(2)若am,at(m,t∈N+)是数列{an}中的项,那么2am+3at是数列{an}中的项吗 请说明理由.
C级学科素养创新练
16.(多选题)Farey数列是这样定义的:对任意给定的一个正整数n,将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列,并且在第一个分数之前加上,在最后一个分数之后加上,这个序列称为n级Farey数列,用{Fn}表示.如{F3}的各项为,共有5项,则(　　)
A.数列{Fn}都有奇数个项
B.6级Farey数列{F6}中,中间项为
C.6级Farey数列{F6}共有11项
D.6级Farey数列{F6}各项的和为
参考答案
第一章　数列
§1　数列的概念及其函数特性
1.1　数列的概念
1.BCD　选项A显然正确;数列的通项公式的定义域是正整数集N+或其子集,选项B错误;并不是所有数列都有通项公式,选项C错误;数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,也可以写成an=(-1)n+2,选项D错误.故选BCD.
2.C　由数列-,-,-,…,可化为数列-,-,-,…,可得数列的第n项为an=(-1)n·,所以第100项为(-1)100·.故选C.
3.C　解n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
4.A　把n=1,2,3,4依次代入数列{an}的通项公式,得a1==1,a2==0,a3==1,a4==0.故选A.
5.(-1)n×(n2-n)　0=(-1)1×(12-1),
2=(-1)2×(22-2),
-6=(-1)3×(32-3),
…
30=(-1)6×(62-6),
…,
故该数列的通项可以表示为(-1)n×(n2-n).
6.解(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)将数列变形为(1-0.1),(1-0.01),(1-0.001),…,∴an=1-.
7.解(1)令an=-n2+n+110=20,
即n2-n-90=0,∴(n+9)(n-10)=0,
解得n=10或n=-9(舍去).
∴20是数列{an}的第10项.
(2)令an=-n2+n+110=0,即n2-n-110=0,
∴(n-11)(n+10)=0,解得n=11或n=-10(舍去),
∴当n=11时,an=0.
8.C　因为an=+…+,
所以a2=.
故选C.
9.ACD　对于A,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==0,满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式;对于B,当n为奇数时,an=sin=1或-1,当n为偶数时,an==0,不满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式;对于C,当n为奇数时,an=1,当n为偶数时,an=0,满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式;对于D,当n为奇数时,an=1,当n为偶数时,an=0,满足数列1,0,1,0,1,0…的通项公式.故选ACD.
10.A
11.C　∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,
∴a1=1,a2=,a3=,…,an=,….
12.AC　观察此数列,当n为偶数时,an=;当n为奇数时,an=,所以此数列的通项公式为an=所以C正确;a20==200,A正确;a19==180,B错误;a13==84,故84是此数列的第13项,D错误.故选AC.
13.1　　a1==1,
an+1=.
14.17　由an=n2+2n=323,解得n=17,或n=-19(舍去).
∴323是数列{n(n+2)}的第17项.
15.解 (1)令an=4n-1=135,得n=34,
∴135是数列{an}的第34项;
∵4m+19=4(m+5)-1,且m∈N+,
∴4m+19是数列{an}的第m+5项.
(2)∵am,at是数列{an}中的项,
∴am=4m-1,at=4t-1,
∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1,
∵2m+3t-1∈N+,
∴2am+3at是数列{an}的第2m+3t-1项.
16.BD　1级Farey数列{F1}各项为,A错误;6级Farey数列{F6}各项为,共有13项,中间项为,各项的和为,故B正确,C错误,D正确.故选BD.
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