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2025北师大版数学选择性必修第二册
1.2　数列的函数特性
A级必备知识基础练
1.[探究点二(角度1)](多选题)若数列{an}为递减数列,则{an}的通项公式可能为(　　)
A.an=-2n+1 B.an=-n2+3n+1
C.an= D.an=1
2.[探究点一]函数f(x)定义如表,数列{xn}满足x1=2,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2 023等于(　　)
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 1 3 4 2
A.1 B.2 C.4 D.5
3.[探究点三]已知数列{an}的通项公式为an=,则该数列的最大项的值是(　　)
A. B. C. D.
4.[探究点三]在数列{an}中,若an=n(n-8)-20,则该数列从第　　　　项开始递增,数列的最小值为　　　　.
5.[探究点二(角度2)]已知对于任意的正整数n,an=n2+λn,若数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　　.
6.[探究点一·2024江苏苏州期末](1)当自变量x依次取1,2,3,…时,函数f(x)=2x+1的值构成数列{an},写出这个数列的前5项,并作出它的图象;
(2)数列{an}的通项公式为an=
写出这个数列的前10项,并作出它的图象.
7.[探究点二(角度1)、探究点三]已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项.
B级关键能力提升练
8.已知an=,则数列{an}中相等的连续两项是(　　)
A.第9项,第10项 B.第10项,第11项
C.第11项,第12项 D.第12项,第13项
9.已知数列{an}满足a1=a,an+1=(n∈N+).若数列{an}是常数列,则a=(　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.(-1)n
10.对任意的a1∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N+),则函数y=f(x)的图象是(　　)
11.已知数列{an}满足an=,则当an取得最小值时n的值为(　　)
A.2 024 B.2 023或2 022
C.2 022 D.2 022或2 021
12.(多选题)下列数列{an}中是递增数列的是(　　)
A.an=(n-3)2 B.an=-
C.an=tan n D.an=ln
13.(多选题)已知函数f(x)=-x2+2x+1,设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+),则此数列 (　　)
A.图象是二次函数y=-x2+2x+1的图象
B.是递减数列
C.从第3项往后各项均为负数
D.有两项为1
14.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}中的最大项为　　　　　.
15.已知在数列{an}中,an+1=对任意正整数n都成立,且a7=,则a5=　　　　　　.
16.数列中的最大项为　　　　　　.
17.设an=-n2+10n+11,则数列{an}中第　　　　项的值最大.
18.已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N+).
(1)判断是不是数列{an}中的项.
(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内.
(3)在区间内有没有数列{an}中的项 若有,是第几项;若没有,请说明理由.
C级学科素养创新练
19.已知数列{an}的通项公式为an=n2-11n+,a5是数列{an}的最小项,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-40,-25] B.[-40,0]
C.[-25,25] D.[-25,0]
20.已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:数列{an}是递减数列.
参考答案
1.2　数列的函数特性
1.AC　可以利用数列的函数特性一一判断,A,C中数列为递减数列,B中数列既不是递增数列,也不是递减数列,D中数列是常数列.故选AC.
2.B　根据定义,可得x2=f(x1)=1,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=2,x5=f(x4)=1,x6=f(x5)=5,…,所以周期为3,故x2 023=x1=2.
3.B　由an=,得a1=,a2=,a3=,a4=,a5=.又an=,n∈N+,且函数y=在(0,)内单调递增,在(,+∞)内单调递减,所以{an}的最大项的值为.故选B.
4.4　-36　由题意得,an+1-an=2n-7,令2n-7>0,得n>,故数列{an}从第4项开始递增.an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,故当n=4时,{an}的最小值为a4=-36.
5.(-3,+∞)　∵{an}是递增数列,
∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0,对于任意的正整数n恒成立,
即λ>-2n-1对于任意的正整数n恒成立,
又n∈N+,当n=1时,(-2n-1)max=-3,
∴λ>-3.
6.解 (1)根据题意,依次将x的值代入函数f(x)=2x+1,
可得数列的前5项依次为3,5,7,9,11,
其图象如下:
(2)an=则数列的前10项依次为2,3,2,5,2,7,2,9,2,11,
其图象如下:
7.解 an+1-an=,
当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4,
当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…,
所以{an}从第1项到第4项递增,从第5项起递减.
所以数列{an}的最大项为a5=a4=.
又a1所以数列{an}的最小项为a1=-1.
8.B　假设an=an+1,则有,解得n=10,所以相等的连续两项是第10项和第11项.
9.A　∵数列{an}满足a1=a,an+1=(n∈N+),
∴a2=.∵数列{an}是常数列,
∴a=,解得a=-2.故选A.
10.A　根据题意知,由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有选项A满足,故选A.
11.D　令bn=,则=1+,
∴当n>2 021时,<1,{bn}是递减数列,{an}是递增数列;
当n<2 021时,>1,{bn}是递增数列,{an}是递减数列;
当n=2 021时,=1,即b2 021=b2 022,a2 021=a2 022.
故当n=2 021或n=2 022时,{an}取得最小值,最小值为a2 021=a2 022=.故选D.
12.BD　对于A,结合对应函数y=(x-3)2在(-∞,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增,可知数列{an}不为递增数列;对于B,结合对应函数y=-在R上单调递增,可知数列{an}为递增数列;对于C,结合对应函数y=tan x的单调递增区间为,k∈Z,可知数列{an}不为递增数列;对于D,由于an=ln=ln,结合对应函数y=ln在(0,+∞)内单调递增,所以数列{an}为递增数列.故选BD.
13.BC　∵函数f(x)=-x2+2x+1,数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+),∴an=-n2+2n+1,对于选项A,数列{an}的图象是当n取正整数时f(n)=-n2+2n+1的图象上的对应点的坐标,∴此数列图象不是二次函数y=-x2+2x+1的图象,故A错误;对于选项B,an=-n2+2n+1=-(n-1)2+2,∴此数列是递减数列,故B正确;对于选项C,an=-n2+2n+1=-(n-1)2+2,a1=2,a2=1,a3=-2,此数列是递减数列,∴从第3项往后各项均为负数,故C正确;对于选项D,an=-n2+2n+1=-(n-1)2+2,a1=2,a2=1,a3=-2,且此数列是递减数列,此数列有一项为1,故D错误.故选BC.
14.a8和a9　∵数列{an}的通项公式为an=,
∴an+1-an=[9(n+2)-10(n+1)]=(8-n),
∴当n<8时,an+1>an;当n>8时,an+115.1　由已知a7=,解得a6=.
又因为a6=,解得a5=1.
16.　设an=,
则an+1-an=,
∴当n≥3时,an+1an,
∴数列中的最大项为a3=.
17.5　根据题意,an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,当n=5时,an取得最大值.
18.解(1)∵an=,
∴由an=,解得n=,
∵不是正整数,∴不是数列{an}中的项.
(2)∵an==1-,n∈N+,0<<1,∴0(3)令则解得又n∈N+,∴n=2.
故在区间内有数列{an}中的项,且只有一项,是第2项,a2=.
19.D　由条件可知,对任意的n∈N+,都有an≥a5恒成立,即n2-11n+-30,整理得(n-5)(n-6)≥.当n≤4时,不等式化简为a≥5n(n-6)恒成立,当n=1时,5n(n-6)取得最大值-25,所以a≥-25,当n≥6时,不等式化简为a≤5n(n-6)恒成立,所以a≤0;综上,实数a的取值范围是[-25,0].故选D.
20.(1)解 ∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,
∴=-2n,即an-=-2n.
∴+2nan-1=0,解得an=-n±.
∵an>0,∴an=-n,n∈N+.
(2)证明 ∵<1,
又an>0,∴an+121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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