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2025北师大版数学选择性必修第二册
§2　等差数列
2.1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念及其通项公式
A级必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)下列数列中,是等差数列的有 (　　)
A.4,5,6,7,8,…
B.3,0,-3,0,-6,…
C.0,0,0,0,…
D.,…
2.[探究点二(角度2)]已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n(n∈N+),则它的公差d为(　　)
A.2 B.3 C.-2 D.-3
3.[探究点一]已知在各项均不为零的等差数列{an}中,满足a1+a3=,则a2等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
4.[探究点三](多选题)已知下列数列的通项公式,其中是等差数列的是(　　)
A.an=1-3n B.an=2n-3
C.an=2n D.an=3
5.[探究点一·2024山西阳泉期末]已知数列{an}满足+4,且a1=1,an>0,则a3=　　　　.
6.[探究点二(角度1)]已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=　　　　　.
7.[探究点二]在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求数列的第10项;
(2)问112是数列{an}的第几项
(3)在80到110之间有多少项
8.[探究点三]已知数列{an}中,a3=9,a5=5,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+),试判断数列{an}是否为等差数列 若是,求数列{an}的首项和公差;若不是,请说明理由.
B级关键能力提升练
9.在等差数列{an}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=(　　)
A.1 B.2 C. D.
10.在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于(　　)
A.30 B.45 C.90 D.186
11.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为(　　)
A.24 B.22 C.20 D.-8
12.将1到2 021这2 021个数中,能被3除余1,且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a10等于(　　)
A.190 B.211 C.232 D.253
13.(多选题)已知等差数列{an}的首项为-,若{an}从第6项起出现正数,则公差d的值可能为(　　)
A. B. C. D.
14.(多选题)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N+)个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项,则k的值可能为(　　)
A.1 B.3
C.5 D.7
15.数列是等差数列,且a1=1,a4=-,那么a2 022=　　　　　.
16.[2024贵州毕节月考]已知数列是公差为1的等差数列,且a2=10,则an=　　　　　　.
17.数列{an}满足a1=4,an=4-(n≥2),设bn=.
(1)数列{bn}是等差数列吗 试证明.
(2)求数列{an}的通项公式.
C级学科素养创新练
18.[2024江苏盐城月考]已知等差数列{An}的首项为2,公差为8,在{An}中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{an},数列{an}的通项公式an=　　　　　　.
19.已知等差数列{an}满足a3=5,a4+a6=18.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对一切n∈N+,an≥λn恒成立,求λ的取值范围.
参考答案
§2　等差数列
2.1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念及其通项公式
1.ACD　选项A是以4为首项,以1为公差的等差数列;选项B后一项减前一项的差不是同一个常数,所以不是等差数列;选项C是常数列,所以是等差数列;选项D是以为首项,以为公差的等差数列.
2.C　由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2.
3.C　∵数列{an}为等差数列,∴a2-a1=a3-a2,∴a1+a3=2a2,∴2a2=,解得a2=2(a2=0舍去).
4.ABD　当n≥2时,对于A,an-an-1=1-3n-[1-3(n-1)]=-3,是等差数列;对于B,an-an-1=2n-3-[2(n-1)-3]=2,是等差数列;对于C,an-an-1=2n-2n-1=2n-1,不是常数,不是等差数列;对于D,an-an-1=3-3=0,是等差数列.
5.3　由等差数列的定义可知=4,故{}是以4为公差的等差数列,所以+4=5,+4=9,又a3>0,所以a3=3.
6.-4　设等差数列{an}的公差为d,
由题意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,
解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4.
7.解 设数列{an}的公差为d,
则解得
(1)a10=a1+9d=-2+27=25.
(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39,所以112是数列{an}的第39项.
(3)由80<3n-5<110,解得28所以n的取值为29,30,…,38,共10项.
8.解 因为an+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an(n∈N+),说明这个数列从第2项起,后一项减前一项所得的差始终相等,所以数列{an}是等差数列.
由a3=9,a5=5,可知a4=7,所以d=-2,所以a1=13.
9.D　等差数列{an}中,∵a2+a3+a4=6,a6=4,∴3a1+6d=6,a1+5d=4,解得d=,故选D.
10.C　设数列{an}的公差为d,则
解得∴an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n,
∴b15=6×15=90.
11.A　设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,∴5a8=120.∴a8=24.∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.
12.A　由题意可得an能被3除余1,且被7除余1,则an-1是21的倍数,即an-1=21(n-1),即an=21n-20,∴a10=21×10-20=190.
13.AC　an=-+(n-1)d,∵从第6项开始为正数,
∴a6=-+5d>0,a5=-+4d≤0,解得故选AC.
14.ABD　由题意得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,∴在等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列,且下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列,则an=b1+(n-1)(k+1),∵b9是数列{an}的项,令1+(n-1)(k+1)=9,当n=2时,k=7,当n=3时,k=3,当n=5时,k=1,故k的值可能是1,3,7.
15.-　令bn=,因为a1=1,a4=-,
所以b1=1,b4=4,则{bn}的公差为=1,
所以bn=n,故an=-1,
所以a2 022=-1=-1=-.
16.n(n+1)+2n　因为a2=10,所以=3.
因为数列是公差为1的等差数列,
a1-2=-1=2,
所以=a1-2+(n-1)×1=n+1,
则an=n(n+1)+2n.
17.解(1)数列{bn}是等差数列.
证明如下:由已知可得,an+1=4-,则bn+1=,
所以bn+1-bn=.
所以数列{bn}是等差数列.
(2)由(1)知,数列{bn}是等差数列,首项b1=,公差d=,所以bn=b1+(n-1)d=(n-1)=,
所以,所以an=+2.
18.2n(n∈N+)　设数列{an}的公差为d'.由题意可知,a1=A1,a5=A2,于是a5-a1=A2-A1=8.
因为a5-a1=4d',所以4d'=8,所以d'=2,
所以an=2+(n-1)×2=2n(n∈N+).
19.解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由a3=5,a4+a6=18,得
解得∴an=2n-1,n∈N+.
(2)由an≥λn恒成立,得2n-1≥λn恒成立,即λ≤2-对一切n∈N+恒成立,当n=1时,2-取最小值1,∴λ≤1,即λ的取值范围是(-∞,1].
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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