资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版数学选择性必修第二册
第2课时　等差数列的性质及应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]若x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是(　　)
A.a=-b B.a=3b
C.a=-b或a=3b D.a=b=0
2.[探究点二]在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7-a8的值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
3.[探究点二]已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为(　　)
A.12 B.8 C.6 D.4
4.[探究点二]在等差数列{an}中,a2 020=log27,a2 024=log2,则a2 022=(　　)
A.0 B.7 C.1 D.49
5.[探究点四(角度2)]《张丘建算经》有这样一个问题:今有某郡守赏赐下属10人,官职依次递降,赏赐随官职递降依次等差递减,前2人共得赏赐190贯,后3人共得赏赐60贯,则第5人得赏赐为(　　)
A.80贯 B.70贯
C.60贯 D.50贯
6.[探究点二]在等差数列{an}中,若+2a2a8+a6a10=16,则a4a6=　　　　.
7.[探究点三]已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=　　　　.
8.[探究点二]已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为　　　　.
9.[探究点二、三]在等差数列{an}中.
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.
10.[探究点四(角度1)]已知三个数成单调递增的等差数列,它们的和等于18,它们的平方和等于116,求这三个数.
B级关键能力提升练
11.[2024福建莆田期中]在公差不为0的等差数列{an}中,a3+a8=ax+ay,则xy的值不可能是(　　)
A.10 B.18 C.22 D.28
12.已知等差数列{an}满足=-2,则下列结论一定成立的是(　　)
A.=-1 B.=-1
C.=-1 D.=-1
13.已知{an}是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13的值为(　　)
A.105 B.120 C.90 D.75
14.如果在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于(　　)
A.21 B.30 C.35 D.40
15.若在等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则a6+a7+a8等于(　　)
A.34 B.35 C.36 D.37
16.在等差数列{an}中,已知a1,a4为方程2x2-5x+2=0的两根,则a2+a3=　　　　.
17.已知在数列{an}中,a3=3,a7=1,又数列是等差数列,则an=　　　　　　　　.
18.已知等差数列{an},n∈N+,且满足a1+a3+a5=9.
(1)求a3;
(2)若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列,求数列{an}的通项公式.
19.[2024甘肃金昌月考]小雪人作为某次冬季运动会的吉祥物特别受欢迎,官方旗舰店售卖小雪人运动造型多功能徽章,若每天售出件数成递增的等差数列,其中第1天售出10 000件,第21天售出15 000件,每件徽章的价格每天成递减的等差数列,第1天每件100元,第21天每件60元,试求该店第几天收入达到最高
C级学科素养创新练
20.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a,b,c成等差数列,B=30°,△ABC的面积为,则b等于(　　)
A.1+ B.2+
C. D.
21.有一批电视机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所购买各台的单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机,则去哪一家商场购买花费较少
参考答案
第2课时　等差数列的性质及应用
1.C　由等差中项的定义知x=,x2=,∴=2,即a2-2ab-3b2=0,可得a=-b或a=3b.
2.C　∵a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,∴a7-a8=(2a7-a8)=(a6+a8-a8)=a6=8.
3.B　由等差数列性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8,又d≠0,∴m=8.
4.A　a2 022=(a2 020+a2 024)=log27+log2=log21=0.
5.C　由题意,设等差数列为{an},公差为d,则可得a1+a2=190,a8+a9+a10=60,即2a1+d=190,3a1+24d=60,解得a1=100,d=-10,故a5=a1+4d=100-40=60,故选C.
6.4　∵等差数列{an}中,+2a2a8+a6a10=16,
∴+a2(a6+a10)+a6a10=16,
∴(a2+a6)(a2+a10)=16,∴2a4·2a6=16,∴a4a6=4.
7.18　设数列{an}的公差为d,∵a4+a7+a10=3a7=17,
∴a7=.∵a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=11a9=77,
∴a9=7,d=.∴ak-a9=(k-9)d,即13-7=(k-9)×,解得k=18.
8.-　由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,
∴a7=.
∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan=tan=-.
9.解 (1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,
即a2+a5=17,由解得
∴d==3或d==-3.
10.解 设这三个数分别为a-d,a,a+d,且d>0.
由题意可得
解得
∵d>0,∴a=6,d=2.∴这三个数是4,6,8.
11.C　∵公差不为0的等差数列{an}中,a3+a8=ax+ay,∴x+y=3+8=11,∵x,y∈N+,∴x=1,y=10或x=2,y=9或x=3,y=8或x=4,y=7或x=5,y=6或x=6,y=5或x=7,y=4或x=8,y=3或x=9,y=2或x=10,y=1,∴xy=10或18或24或28或30.故选C.
12.C　由=-2得a5≠0,2a5+a8=a4+a6+a8=3a6=0,所以a6=0,a3+a9=2a6=0.因为a5≠0,a6=0,所以a3≠0,=-1.其他选项均不一定正确.故选C.
13.A　由a1+a2+a3=15,得a2=5,所以a1+a3=10.又a1a2a3=80,所以a1a3=16,所以a1=2,a3=8或a1=8,a3=2.又因为等差数列{an}的公差为正数,所以{an}是递增数列,所以a1=2,a3=8,所以等差数列{an}的公差d=a2-a1=5-2=3,所以a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=105.
14.C　a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,所以a6=5.所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.
15.C　由题意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12,
∴(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12.
∵a3+a11=a10+a4,∴a7=12.
∴a6+a7+a8=3a7=36.
16.　∵a1,a4为方程2x2-5x+2=0的两根,
∴a1+a4=.
又{an}为等差数列,∴a1+a4=a2+a3.∴a2+a3=.
17.　∵是等差数列,设bn=,
则b3=,b7=.
∴公差d=.
∴bn=b3+(n-3)=.
∴.∴an+1=,an=-1=.
18.解(1)因为等差数列{an},n∈N+,所以a1+a5=2a3.
因为a1+a3+a5=9,所以a1+a3+a5=3a3=9,所以a3=3.
(2)设等差数列{an}的公差为d,由题意可得
即解得
所以an=a1+(n-1)d=-1+2n-2=2n-3.
19.解 记每天售出徽章件数构成递增的等差数列{an},公差为d1.
记价格每天构成递减的等差数列{bn},公差为d2.
a1=10 000,a21=15 000,
b1=100,b21=60,
故d1==250,
d2==-2,
故an=10 000+250×(n-1)=250×(n+39),
bn=100-2(n-1)=2×(51-n).
故an×bn=250×(n+39)×2×(51-n)=500×(n+39)×(51-n)≤500×2=1 012 500,
当且仅当n+39=51-n,即n=6时,等号成立.
故该店第6天收入达到最高.
20.A　由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B, ①
又S△ABC=acsin B=ac=,∴ac=6. ②
∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b, ③
将②③代入①得b2=4b2-12-6,化简整理得b2=4+2,解得b=1+.故选A.
21.解设某单位需购买电视机n台.
当在甲商场购买时,所买电视机的售价构成等差数列{an},an=780+(n-1)×(-20)=-20n+800,
由an=-20n+800≥440,得n≤18,
即购买台数不超过18台时,每台售价(800-20n)元;
购买台数超过18台时,每台售价440元.
到乙商场购买时,每台售价为800×75%=600(元).
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800-20n)n-600n=20n(10-n).
当n<10时,(800-20n)n>600n,到乙商场购买花费较少;
当n=10时,(800-20n)n=600n,到甲、乙商场购买花费相同;
当10当n>18时,440n<600n,到甲商场购买花费较少.
因此,当购买电视机台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买电视机10台时,到两家商场购买花费相同;当购买电视机台数多于10台时,到甲商场购买花费较少.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑