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2025北师大版数学选择性必修第二册
2.2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列前n项和的推导及初步应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7等于(　　)
A.49 B.42
C.35 D.28
2.[探究点一]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+a2=7,am+am-1=73(m≥3),Sm=2 020,则m的值为(　　)
A.100 B.101
C.200 D.202
3.[探究点一]在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和为(　　)
A.44 B.88
C.99 D.110
4.[探究点一](多选题)在等差数列{an}中,公差为d,Sn是数列{an}的前n项和,若d=2,an=11,Sn=35,则a1等于(　　)
A.-1 B.3 C.5 D.7
5.[探究点三·2024湖南湘潭模拟]小张的父亲经营着一家童鞋店,该店提供从25码到36.5码的童鞋,尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天,小张帮助他的父亲整理某一型号的童鞋,以便确定哪些尺寸需要进货,小张在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后,小张的父亲询问那些缺货尺寸是哪些,但小张无法找到标记缺货尺寸的进货单,他只记得其中一个尺寸是28.5码,并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.则另外一个缺货尺寸是(　　)
A.28码 B.29.5码
C.32.5码 D.34码
6.[探究点一]在等差数列{an}中,Sn是它的前n项和,d是公差,S10=4S5,则=　　　　.
7.[探究点一]已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N+),那么它的前n项和Sn=　　　　　.
8.[探究点一]在等差数列{an}中,a10=30,a20=50.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若Sn=242,求n.
9.[探究点二·2024黑龙江哈尔滨期末]已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且Sn=-2n2+15n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最大值.
B级关键能力提升练
10.(多选题)已知{an}是等差数列,其公差为d,前n项和为Sn,a10=10,S10=70,则(　　)
A.a1=4
B.d=
C.数列{an}为递减数列
D.数列是等差数列
11.在等差数列{an}中,+2a3a8=9,且an<0,则S10等于(　　)
A.-9 B.-11 C.-13 D.-15
12.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为(　　)
A.10 000 B.8 000 C.9 000 D.11 000
13.(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=,则(　　)
A.S11=0 B.a6=0
C.S6=S5 D.S7=S6
14.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a4=4,则(　　)
A.an=4n-8 B.an=2n-4
C.Sn=2n2-6n D.Sn=n2-3n
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a200,且A,B,C三点共线(该直线不过原点O),则S200=　　　　.
16.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a1a4=a5,则an=　　　　　.
17.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.
18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=13,S7=13a1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:{}是等差数列.
C级学科素养创新练
19.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a3>0,a3+a4<0,则的取值范围是　　　　,的取值范围是　　　　.
20.已知数列{an}的所有项均为正数,其前n项和为Sn,且Sn=an-(n∈N+).
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
参考答案
2.2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列前n项和的推导及初步应用
1.B　2a6-a8=a4=6,S7=(a1+a7)=7a4=42.
2.B　由题意知a1+am+a2+am-1=80,由等差数列的性质可知,a1+am=a2+am-1,故a1+am=40.Sm==20m=2 020,故m=101.
3.B　由等差数列的性质可知,a1+a11=a4+a8=16,故前11项的和为S11==88.故选B.
4.AB　由题意知a1+(n-1)×2=11, ①
Sn=na1+×2=35, ②
由①②解得a1=3或a1=-1.
5.C　因为该店提供从25码到36.5码的童鞋,尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列,易知共有24个尺码,所以所有尺码的和为×24=738,又所有有货尺寸加起来的总和是677码,故另一个缺货尺寸为738-677-28.5=32.5.
6.　由题意得10a1+×10×9d=45a1+×5×4d,所以10a1+45d=20a1+40d,所以10a1=5d,所以.
7.n2　∵等差数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N+),∴Sn==n2.
8.解 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则解得
∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=2n+10.
(2)由Sn=na1+d以及a1=12,d=2,Sn=242,得方程242=12n+×2,即n2+11n-242=0,
解得n=11或n=-22(舍去).故n=11.
9.解 (1)等差数列{an}的前n项和Sn=-2n2+15n,
当n=1时,a1=S1=-2+15=13,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n2+15n-[-2(n-1)2+15(n-1)]=17-4n,显然a1=13满足an=-4n+17,
所以数列{an}的通项公式是an=-4n+17.
(2)由于Sn=-2n2+15n=-2n-2+,而n∈N+,于是当n=4时,S4=28,所以Sn的最大值是28.
10.AB　由题意可得解得故A,B均正确;数列{an}为递增数列,C错误;Sn-Sn-1=4+(n-1)=n+(n≥2)不是常数,故数列{Sn}不是等差数列,D错误.故选AB.
11.D　由+2a3a8=9,得(a3+a8)2=9,
∵an<0,∴a3+a8=-3,
∴S10==-15.
12.A　由已知得{an+bn}为等差数列,故其前100项的和为S100==50×(25+75+100)=10 000.
13.ABC　因为{an}是等差数列,所以a5+a7=a1+a11=2a6.根据题意S11==a6,又因为S11==11a6,所以11a6=a6,从而a6=0,S11=0,故选项A,B正确;又因为a6=S6-S5=0,即S6=S5,故选项C正确;对于选项D,S7-S6=a7,根据题意无法判断a7是否为零,故选项D错误.故选ABC.
14.BD　由题意,解得所以an=-2+(n-1)·2=2n-4,Sn=-2n+=n2-3n.故选BD.
15.100　因为A,B,C三点共线(该直线不过原点O),所以a1+a200=1,所以S200==100.
16.3-n　设等差数列{an}的公差为d,
∵a3=S5,a1a4=a5,
∴a1+2d=5a1+d,a1(a1+3d)=a1+4d,
解得a1=2,d=-1,则an=2-(n-1)=3-n.
17.解(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0.
∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.
又公差d>0,∴a3∴∴an=4n-3,n∈N+.
(2)由(1)知,Sn=n×1+×4=2n2-n,
∴bn=.∴b1=,b2=,b3=.
∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,
∴2c2+c=0,∴c=-(c=0舍去).
经检验,c=-符合题意,∴c=-.
18.(1)解设等差数列{an}的公差为d,
由a4=13,S7=13a1,得a1+3d=13,7a1+d=13a1,解得a1=7,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n+5.
(2)证明结合(1)可得Sn=na1+d=7n+n2-n=n2+6n,所以=n+3,
故=4,=(n+4)-(n+3)=1,所以数列是以4为首项,1为公差的等差数列.
19.-,-2　,1　因为等差数列{an}满足a3>0,a3+a4<0,所以所以-<-2,
则的取值范围是-,-2.
=2+,由-4<+1<-3,
所以-<-1,所以的取值范围是,1.
20.(1)证明当n=1时,a1=S1=a1-,
解得a1=3或a1=-1(舍去).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=+2an-3)-+2an-1-3).
所以4an=+2an-2an-1,
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.
因为an+an-1>0,所以an-an-1=2(n≥2).
所以数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列.
(2)解由(1)知an=3+2(n-1)=2n+1,n∈N+.
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