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2025北师大版数学选择性必修第二册
§1　平均变化率与瞬时变化率
1.1　平均变化率~1.2　瞬时变化率
A级必备知识基础练
1.[探究点一(角度2)]函数f(x)=在区间[1,8]上的平均变化率为(　　)
A.- B.- C. D.
2.[探究点三]如图,从上端口往一高为H的水缸匀速注入水,水注满所用时间为T.当水深为h时,水注入所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(　　)
3.[探究点三]某公司的盈利y(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系是y=f(x),假设>0(x1>x0≥0)恒成立,且=10,=1,则说明后10天与前10天相比(　　)
A.公司亏损且亏损幅度变大
B.公司的盈利增加,增加的幅度变大
C.公司亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利增加,增加的幅度变小
4.[探究点一(角度1)、探究点二(角度1)]一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v1,在t=3时的瞬时速度为v2,则=(　　)
A. B. C. D.
5.[探究点二(角度2)]已知y=f(x)=-x2+10,则y=f(x)在x=处的瞬时变化率是(　　)
A.3 B.-3 C.2 D.-2
6.[探究点一(角度2)]设函数f(x)=xlg x-x,当x由1变到10时,f(x)的平均变化率为　　　　　.
7.[探究点二(角度1)]一物体的运动方程为s(t)=t2-3t+2,则其在t=　　　　　时的瞬时速度为1.
8.[探究点三]泰山十八盘是泰山登山路中最险要的一段,在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”之说,一段登山路线如图所示,同样是登山,从A处到B处会感觉比较轻松,而从C处到D处会感觉比较吃力.试用数学语言给出解释.
9.[探究点二(角度1)]枪弹在枪筒中的运动可以近似看作是匀加速直线运动,其路程(单位:m)与时间(单位:s)的关系式为s(t)=at2,如果枪弹的加速度a=5×105 m/s2,且当t=1.6×10-3 s时,枪弹从枪口射出,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
B级关键能力提升练
10.物体的运动函数是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为(　　)
A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=4
11.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大;
②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大;
③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢;
④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.
其中所有正确结论的序号是(　　)
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
12.如图所示,单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积(阴影部分)的2倍,则函数y=f(x)的图象是(　　)
13.函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为(　　)
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.不确定
14.(多选题)已知某物体的运动函数为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(　　)
A.当t=1到t=3时该物体的平均速度是28
B.该物体在t=4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t=5时的瞬时速度是70
15.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积的平均变化率为,则m的值为　　　　　　.(注:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2))
16.一个小球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的路程h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h=2t2+3t,则当t=3 s时球的瞬时速度为　　　　m/s.
17.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围.
C级学科素养创新练
18.服药后,人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位:mg/mL)来表示,它是时间t(单位:min)的函数,表示为c=c(t),下表给出了c(t)的一些函数值.
t/min 10 20 30 40 50 60 70 80 90
c(t)/(mg/mL) 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
服药后30 min~70 min这段时间内,药物浓度的平均变化率为　　　　　　 mg/(mL·min).
19.若一物体运动函数如下:(位移单位:m,时间单位:s)
s=f(t)=求:
(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
参考答案
第二章　导数及其应用
§1　平均变化率与瞬时变化率
1.1　平均变化率~1.2　瞬时变化率
1.B　=-,故选B.
2.D　将容器看作一个球体,在刚开始注水时,由于球体的截面积较小,对于相同的Δt时间,高度Δh的变化较大,即较大,即函数f(t)的导数值较大,到水注入球体的一半时,由于球体的截面积较大,f(t)的变化率较小,到接近于球体的顶端时,f(t)的变化率又较大.故选D.
3.D　由>0(x1>x0≥0)恒成立,可知y=f(x)单调递增,即盈利增加,
又因为平均变化率=10>=1说明盈利增加的幅度变小,故选D.
4.B　根据平均速度定义可知,在t∈[2,3]内的平均速度为v1==7;在t=3时的瞬时速度为=8+Δt,
当Δt趋于0时,趋于8,所以在t=3时,瞬时速度为8,即v2=8.
所以.故选B.
5.B　∵=-Δx-3,当Δx趋于0时,趋于-3.
6.　f(10)-f(1)=10lg 10-10-(lg 1-1)=10-10+1=1,∴当x由1变到10时,f(x)的平均变化率为.
7.2　设物体在t=t0时的瞬时速度为1,
因为
=
=2t0-3+Δt,
当Δt趋于0时,2t0-3+Δt趋于2t0-3,
∴2t0-3=1,解得t0=2.
8.解山路从A处到B处高度的平均变化率为,山路从C处到D处高度的平均变化率为,由,知山路从C处到D处比从A处到B处陡峭,故从A处到B处会感觉比较轻松,而从C处到D处会感觉比较吃力.
9.解 ∵s(t)=at2,∴=at+aΔt.
当Δt趋于0时,at+aΔt趋于at,
由题意知,a=5×105 m/s2,t=1.6×10-3 s,
∴at=8×102=800(m/s),
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
10.B　设在t时刻的速度为0,
∴=-8t+16-4Δt,
当Δt趋于0时,-8t+16-4Δt趋于-8t+16,
由-8t+16=0,解得t=2.
11.B　①在[t1,t2]这段时间内,甲的平均分出量小于乙,此说法错误.
②在[t2,t3]这段时间内,乙的平均分出量大于甲,此说法正确.
③在t2时刻,乙的图象比甲的图象陡,瞬时增长率大,此说法正确.
④甲的图象大致为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,此说法错误.故选B.
12.D　不妨设点A固定,点B从点A出发绕圆周旋转一周,刚开始时x很小,即弧AB长度很小,这时给x一个改变量Δx,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢;
当弦AB接近于圆的直径时,同样给x一个改变量Δx,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量较大,即弓形面积的变化较快;
从直径的位置开始,随着点B的继续旋转,弓形面积的变化越来越慢.
由上可知函数y=f(x)的图象应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D正确.
13.A　k1==2x0+Δx,
k2==2x0-Δx.
由题意知Δx>0,∴k1>k2.
14.ABD　该物体在t=1到t=3时的平均速度是=28,故A正确;
物体在t=4时的瞬时速度是当Δt趋于0时,=56+7Δt趋于56,故B正确;
物体的最大位移是7×52+8=183,故C错误;
物体在t=5时的瞬时速度是当Δt趋于0时,=70+7Δt趋于70,故D正确.
15.2　设球的体积为V,ΔV=m3-×13=(m3-1),∴,∴m2+m+1=7,
∴m=2或m=-3(舍去).
16.15　=4t+3+2Δt.
当t=3,且Δt趋于0时,趋于15.所以当t=3 s时球的瞬时速度为15 m/s.
17.解 质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度为
=4+Δt,
又因为4+Δt≤5,所以Δt≤1,且Δt>0,
故Δt的取值范围为(0,1].
18.-0.002　当时间t从30 min变到70 min时,血液中药物的浓度c相对于时间t的平均变化率为=-0.002 mg/(mL·min).
19.解 (1)∵物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt=5-3=2(s),物体在t∈[3,5]上的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48(m),
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为=24(m/s).
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为24 m/s.
(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.
∵
==3Δt-18,
当Δt趋于0时,3Δt-18趋于-18.
∴物体的初速度为-18 m/s.
(3)∵
==3Δt-12,
当Δt趋于0时,3Δt-12趋于-12.
∴物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.
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