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2025北师大版数学选择性必修第二册
§4　导数的四则运算法则
4.1　导数的加法与减法法则~4.2　导数的乘法与除法法则
A级必备知识基础练
1.[探究点一]函数f(x)=x2-2x的导函数为f'(x)=(　　)
A.2x-2x B.2x-2xln 2
C.2x+2x D.2x+2xln 2
2.[探究点二]已知f(x)=x(2 024+ln x),f'(x0)=2 026,则x0=(　　)
A.e2 B.e C.1 D.ln 2
3.[探究点二](多选题)下列选项正确的是(　　)
A.y=ln 2,则y'=
B.f(x)=,则f'(3)=-
C.(x3ex)'=3x2ex+x3ex
D.'=
4.[探究点三](多选题)已知曲线y=x3-x+1在点P处的切线平行于直线y=2x,那么点P的坐标为 (　　)
A.(1,0) B.(1,1) C.(-1,1) D.(0,1)
5.[探究点三]已知函数f(x)=的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,则a+b=　　　　　.
6.[探究点一、二]求下列函数的导数:
(1)f(x)=xcos x+sin x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=-2x.
B级关键能力提升练
7.已知曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的倾斜角为,则实数a等于(　　)
A.1 B.-1 C.7 D.-7
8.(多选题)已知函数f(x)=x++2,则(　　)
A.f(x)的值域为[6,+∞)
B.直线3x+y+6=0是曲线y=f(x)的一条切线
C.f(x-1)图象的对称中心为(1,2)
D.方程f2(x)-5f(x)-14=0有三个实数根
9.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)-3f'(3)=(　　)
A.1 B.0 C.2 D.4
10.已知曲线f(x)=(x+a)·ln x在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,则a等于(　　)
A. B.1 C.- D.-1
11.(多选题)关于切线,下列结论正确的是(　　)
A.过点且与圆x2+y2=1相切的直线方程为x-y+2=0
B.过点(1,2)且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x-y+1=0
C.过点(0,-1)且与曲线f(x)=xln x相切的直线l的方程为x-y+1=0
D.曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为5x-y+2=0
12.曲线y=ln x+1在点(1,1)处的切线也为y=ex+a的切线,则a=　　　　　.
13.如图所示的图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图象,则这个图象的序号是　　　　　,f(-1)=　　　　　.
14.已知函数f(x)=,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象切于点P,求直线l的斜率k的取值范围.
15.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求f(x)的解析式.
C级学科素养创新练
16.(1)若函数f(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 021)(x-2 022),则f'(2 021)=(　　)
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-2 B.-1 C.0 D.1
(2)设函数y=f″(x)是y=f'(x)的导数,经过探究发现,任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0,已知函数f(x)=2x3-3x2+9x-,则f+f+f+…+f=(　　)
A.2 021 B.
C.2 022 D.
参考答案
§4　导数的四则运算法则
4.1　导数的加法与减法法则~
4.2　导数的乘法与除法法则
1.B　∵f(x)=x2-2x,∴f'(x)=2x-2xln 2.
2.B　由f(x)=x(2 024+ln x),得f'(x)=(2 024+ln x)+x(2 024+ln x)'=ln x+2 025,
又因为f'(x0)=2 026,
所以f'(x0)=ln x0+2 025=2 026,解得x0=e.
3.BC　对于A,y=ln 2,则y'=0,故A错误;
对于B,f(x)==x-2,则f'(x)=-,f'(3)=-,故B正确;
对于C,(x3ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'=3x2ex+x3ex,故C正确;
对于D,'=,故D错误.
故选BC.
4.BC　设y=f(x)=x3-x+1,则f'(x)=3x2-1.
令3x2-1=2,即x2=1,解得x=±1,
又f(1)=1,f(-1)=1,
所以点P的坐标为(-1,1)或(1,1).
5.　∵f(x)=,
∴f'(x)=,
又函数f(x)=的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,∴f'(-1)==-. ①
∵点(-1,f(-1))在直线x+2y+5=0上,
∴-1+2f(-1)+5=0,∴f(-1)=-2.
又点(-1,f(-1))在函数f(x)=的图象上,
∴f(-1)==-2. ②
联立①②可得∴a+b=.
6.解 (1)f'(x)=cos x+x(cos x)'+cos x=2cos x-xsin x.
(2)f'(x)==-.
(3)f'(x)=-2xln 2=-2xln 2.
7.C　∵f'(x)=,
又f'(1)=tan=-1,即=-1,∴a=7.
8.BCD　对A,当x>0时,f(x)=x++2≥2+2=4+2=6,当且仅当x=2时等号成立,当x<0时,f(x)=x++2≤-2+2=-4+2=-2,当且仅当x=-2时等号成立,故A错误;
对B,令f'(x)=1-=-3,得x=±1,当x=1时,f(1)=7,所以图象在点(1,7)处的切线方程是y-7=-3(x-1),得3x+y-10=0,当x=-1时,f(-1)=-3,所以图象在点(-1,-3)处的切线方程是y+3=-3(x+1),得3x+y+6=0,故B正确;
对C,y=x+的对称中心是(0,0),所以f(x)=x++2的对称中心是(0,2),向右平移1个单位得f(x-1),对称中心是(1,2),故C正确;
对D,f2(x)-5f(x)-14=0,解得f(x)=-2或f(x)=7,若x++2=-2,则(x+2)2=0,解得x=-2,有1个实数根,若x++2=7,解得x=1或x=4,有2个实数根,所以共有3个实数根,故D正确.故选BCD.
9.A　将点(3,1)代入直线y=kx+2的方程,可得3k+2=1,解得k=-,所以f'(3)=k=-,由于点(3,1)在函数y=f(x)的图象上,则f(3)=1,对函数g(x)=xf(x)求导可得g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)-3f'(3)=f(3)=1.故选A.
10.C　因为f(x)=(x+a)·ln x,x>0,
所以f'(x)=ln x+(x+a)·,所以f'(1)=1+a.
又因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0垂直,所以f'(1)=-,所以a=-.
11.ABD　对于A,点在圆x2+y2=1上,设切线斜率为k,则×k=-1,所以k=,切线方程为y-,即x-y+2=0,A正确;
对于B,设切线斜率为k(k≠0),切线方程为y-2=k(x-1),与y2=4x联立,得y2-y+2-k=0,则Δ=1-4××(2-k)=0,解得k=1,所以切线方程为y-2=1×(x-1),即x-y+1=0,B正确;
对于C,对f(x)=xln x求导得f'(x)=ln x+1,设切点为(x0,x0ln x0),切线斜率k=ln x0+1,则ln x0+1=,解得x0=1,切点为(1,0),斜率k=1,所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0,C错误;
对于D,对y=求导得y'=,点(-1,-3)处的切线的斜率k==5,切线方程为y+3=5×(x+1),即5x-y+2=0,D正确.故选ABD.
12.-1　由y=ln x+1求导可得y'=,则曲线y=ln x+1在(1,1)处的切线斜率为1,切线方程为y=x,
设直线y=x与曲线y=ex+a相切于点(t,et+a),由y=ex+a求导得y'=ex,
于是得解得所以a=-1.
13.③　-　∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,
∴f'(x)的图象开口向上,排除图象②④;
又a≠0,∴f'(x)不是偶函数,其图象不关于y轴对称,故f'(x)的图象的序号为③.
由图象特征可知,f'(0)=0,
∴a2-1=0,且图象的对称轴x=-a>0,
∴a=-1,∴f(x)=x3-x2+1,则f(-1)=-.
14.解 (1)由题意得f'(x)=,
因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切,
所以解得
则f(x)=.
(2)由(1)可得,f'(x)=,所以直线l的斜率k=f'(x0)==4,
令t=,则t∈(0,1],
所以k=4(2t2-t)=8,
由二次函数的知识得,当t=时,k取到最小值-,当t=1时,k取到最大值4,所以直线l的斜率k的取值范围是.
15.解 ∵f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.
又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x).
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.
∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,
∴切点坐标为(1,-1).∴a+c+1=-1.
∵f'(1)=4a+2c,∴4a+2c=1.∴a=,c=-.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.
16.(1)A　(2)B　(1)令g(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 022),则f(x)=(x-2 021)·g(x),f'(x)=1·g(x)+(x-2 021)·g'(x),
所以f'(2 021)=g(2 021)=2×1×(-1)=-2.
故选A.
(2)由f(x)=2x3-3x2+9x-,可得f'(x)=6x2-6x+9,f″(x)=12x-6,令f″(x)=12x-6=0,解得x=,又因为f=2×-3×+9×,所以对称中心为,所以f+f=1,f+f=1,…,f+f=1,f.
所以f+f+f+…+f=1 010×1+.故选B.
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