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2025北师大版数学选择性必修第二册
§5　简单复合函数的求导法则
A级必备知识基础练
1.[探究点一]已知f(x)=,则f'(x)=(　　)
A. B.2
C. D.
2.[探究点二]若f(x)=e2xln 2x,则f'(x)等于(　　)
A.e2xln 2x+ B.e2xln 2x+
C.2e2xln 2x+ D.2e2x·
3.[探究点二]若函数f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5,则a等于(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.[探究点三]函数y=sin2x的图象在点A处的切线的斜率是(　　)
A. B. C. D.
5.[探究点三]函数y=e2x-4的图象在点(2,1)处的切线方程为(　　)
A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0
6.[探究点一]质点M按规律s(t)=(2t+1)2做直线运动(位移s(t)的单位:m,时间t的单位:s),则质点M在t=2时的瞬时速度为　　　　　m/s.
7.[探究点三]设曲线f(x)=ax-ln(x+1)在点(1,f(1))处的切线与直线y=x平行,则a=　.
8.[探究点二]求下列函数的导数.
(1)y=(2x-1)4;
(2)y=e-x·sin 2x;
(3)y=.
B级关键能力提升练
9.设f(x)=ln(2x-1),若f(x)在x0处的导数f'(x0)=1,则x0的值为(　　)
A. B. C.1 D.
10.要得到函数f(x)=sin2x+的导函数f'(x)的图象,只需将f(x)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
B.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)
D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)
11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设g(x)=e-x·f(x),若函数g(x)的导函数g'(x)的图象如图所示,则(　　)
A.ab,b>c
C.>1,b=c D.<1,b=c
12.设a∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为(　　)
A.ln 2 B.-ln 2
C. D.-
13.(多选题)若直线y=x+b(b∈R)是曲线 y=f(x)的切线,则曲线y=f(x)可以是(　　)
A.f(x)=x3+2x2+8 B.f(x)=tan x
C.f(x)=xex D.f(x)=ln
14.(多选题)设函数f(x)=cos(x+φ)(-π<φ<π).若f(x)+f'(x)是偶函数,则φ=(　　)
A. B.- C. D.-
15.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(ln x)=2x-ln x,则f'(1)=　　　　　.
16.已知函数f(x)=asin x+b(ex-e-x)+1(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)的值为　　　　　.
17.设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,则a=　　　　　,b=　　　　　.
18.(1)已知函数f(x)=x2+2x-3ln x,求f'(x)>0的解集;
(2)设曲线y=e2ax+1在点(0,e)处的切线与直线2x-ey+1=0垂直,求a的值.
C级学科素养创新练
19.若曲线y=ln x在点P(e,1)处的切线也是曲线y=eax的一条切线,则a=　　　　　.
20.曲线y=e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为,求直线l的方程.
参考答案
§5　简单复合函数的求导法则
1.D　f(x)==(x+4,则f'(x)=(x+4.
2.C　f'(x)=(e2x)'ln 2x+e2x(ln 2x)'=2e2xln 2x+e2x.
3.A　f'(x)=(1-ax)2-2ax(1-ax),
则f'(2)=12a2-8a+1=5(a>0),解得a=1.
4.C　因为y=sin2x,
所以y'=2sin x(sin x)'=2sin x·cos x=sin 2x,
所以所求斜率k=sin=sin.
5.A　y'=2e2x-4,
则当x=2时,y'=2e0=2,∴所求切线的斜率为2.
又切点为(2,1),∴切线方程为y-1=2(x-2),
即2x-y-3=0.
6.20　∵s(t)=(2t+1)2,∴s'(t)=2(2t+1)×2=8t+4,
则质点在t=2时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s).
7.1　f'(x)=a-,
由题意得f'(1)=,即a-,
所以a=1.
8.解 (1)y'=4(2x-1)3·(2x-1)'=8(2x-1)3.
(2)y'=(e-x)'sin 2x+e-x·(sin 2x)'=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x.
(3)y'=.
9.B　由f(x)=ln(2x-1),得f'(x)=.
由f'(x0)==1,解得x0=.故选B.
10.C　∵f(x)=sin2x+,
∴f'(x)=2cos2x+=2sin+2x+=2sin2x++,
∴要得到导函数f'(x)=2sin2x++的图象,
只需将f(x)=sin2x+的图象向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变).
11.D　根据题意g(x)=e-x(ax2+bx+c),求导得g'(x)=-e-x(ax2+bx+c)+e-x(2ax+b)=-e-x[ax2-(2a-b)x+c-b],
观察g'(x)的图象可知,g'(0)=c-b=0,即b=c,
所以g'(x)的另一个零点为=2->1,即<1,
所以有<1,b=c.
12.A　对f(x)=ex+ae-x求导得
f'(x)=ex-ae-x,定义域为R,
又f'(x)是奇函数,故f'(0)=1-a=0,
解得a=1,故有f'(x)=ex-e-x,
设切点为(x0,y0),则f'(x0)=,得=2或=-(舍去),则x0=ln 2.
故选A.
13.AC　因为直线y=x+b(b∈R)是曲线y=f(x)的切线,直线的斜率为,
所以y=f(x)在某点处的导数值为,
对于选项A,由f(x)=x3+2x2+8可得f'(x)=3x2+4x,令f'(x)=3x2+4x=,即6x2+8x-1=0,因为Δ=82-4×6×(-1)>0,所以f'(x)=有解,故选项A正确;
对于选项B,由f(x)=tan x可得f'(x)=,
令f'(x)=,则cos2x=2,方程无解,故选项B不正确;
对于选项C,由f(x)=xex可得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)=,
即2x+2=e-x,作出y=2x+2和y=e-x的图象如图所示,
所以f'(x)=有解,故选项C正确;
对于选项D,由2x+1>0可得x>-,
所以f(x)=ln的定义域为,
由f(x)=ln可得f'(x)=-,令f'(x)=-,解得x=-,不满足x>-,
所以f'(x)=-无解,故选项D不正确.
故选AC.
14.AB　f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sinx+φ+π,
因为f(x)+f'(x)为偶函数,
则φ+π=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z.
又-π<φ<π,所以φ=-.
15.2e-1　因为f(ln x)=2x-ln x,
令t=ln x,则x=et,所以f(t)=2et-t,
即f(x)=2ex-x,所以f'(x)=2ex-1,
因此f'(1)=2e-1.
16.2　∵f(x)=asin x+b(ex-e-x)+1,
∴f(-x)=-asin x+b(e-x-ex)+1,f'(x)=acos x+b(ex+e-x),
∴y=asin x+b(ex-e-x)为奇函数,
∴f(x)+f(-x)=2,∴f(2 022)+f(-2 022)=2.
∵f'(x)=acos x+b(ex+e-x),
∴f'(-x)=acos x+b(e-x+ex),
∴f'(x)为偶函数,
∴f'(x)-f'(-x)=0,∴f'(2 023)-f'(-2 023)=0,
∴f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)=2.
17.1　2　函数f(x)=aexln x+,求导得f'(x)=aex+bex-1,
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,因此f'(1)=ae=e,f(1)=b=2,所以a=1,b=2.
18.解(1)由题可得f'(x)=x+2-(x>0),
由f'(x)>0可得x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,
又因为x>0,故不等式的解集为{x|x>1}.
(2)由题可得f'(x)=2ae2ax+1,依题意f'(0)=2ae=-,解得a=-.
19.e-2　因为y=ln x,所以y'=,则y'|x=e=,
所以曲线y=ln x在点P(e,1)处的切线方程为y=x,
设y=x与y=eax相切于点(x0,),
因为(eax)'=aeax,所以
则a,a=,可得x0=e2,从而a=e-2.
20.解 y'=(e2x)'·cos 3x+e2x·(cos 3x)'=2e2x·cos 3x-3·sin 3x,∴k=2.
∴在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),
即y=2x+1.
设符合题意的直线l的方程为y=2x+b,
根据题意,得,∴b=6或-4.
∴符合题意的直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.
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