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2025北师大版数学选择性必修第二册
§6　用导数研究函数的性质
6.1　函数的单调性
A级必备知识基础练
1.[探究点一(角度2)]函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是(　　)
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
2.[探究点三·2024山东威海期末]已知f(x)在R上是可导函数,f(x)的图象如图所示,则不等式f'(x)>0的解集为(　　)
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-2,-1)∪(1,2)
3.[探究点一(角度2)]函数f(x)=ln x-4x+1的单调递增区间为(　　)
A. B.(0,4)
C. D.
4.[探究点二]若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞) B.[0,1]
C.(-∞,1] D.(0,1)
5.[探究点一(角度1)]定义在R上的函数f(x),若(x-1)·f'(x)<0,则下列各项正确的是(　　)
A.f(0)+f(2)>2f(1)
B.f(0)+f(2)=2f(1)
C.f(0)+f(2)<2f(1)
D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定
6.[探究点一(角度2)]已知函数f(x)=-x2+3x-2ln x,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　.
7.[探究点一(角度3)]函数f(x)=(a>0)的单调递增区间是　　　　　.
8.[探究点一(角度3)]已知曲线f(x)=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)的单调性.
9.[探究点一(角度3)]已知函数f(x)=-ln x-1,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
B级关键能力提升练
10.若函数f(x)=x3-3kx+1的单调递减区间为(-1,1),则实数k的值为(　　)
A.1 B.-1 C.3 D.-3
11.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,3)∪(3,+∞) B.[3,+∞)
C.(0,3] D.(0,3)
12.已知函数f(x)=x3+2x-2sin x,若f(a)+f(1-2a)>0,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C. D.
13.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图,则关于以下函数值的大小关系,一定正确的是 (　　)
A.f(a)>f(b)>f(0) B.f(0)C.f(b)14.已知函数f(x)的定义域为,其导函数是f'(x).有f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则关于x的不等式f(x)<2fcos x的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
15.已知函数f(x)=2ax-,若f(x)在(0,1]上单调递增,则a的取值范围为　.
16.[2024上海浦东新区期末]已知定义在(-π,π)上的函数f(x)=xcos(x+φ)-cos x(0<φ<π)为偶函数,则f(x)的单调递减区间为　.
17.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,求实数a的取值范围.
C级学科素养创新练
18.已知函数f(x)=(ax2-x-1)ex(a∈R,且a≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调区间.
参考答案
§6　用导数研究函数的性质
6.1　函数的单调性
1.D　易知f'(x)=-sin x-1,x∈(0,π),
故f'(x)<0,则f(x)=cos x-x在(0,π)内单调递减.
2.C　因为f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)内是增函数,
所以f'(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
3.A　f(x)=ln x-4x+1的定义域是{x|x>0},f'(x)=-4=,当f'(x)>0时,解得04.A　f'(x)=3x2-2ax-1,∵f(x)在(0,1)内单调递减,
∴不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1)上恒成立,
∴f'(0)≤0,f'(1)≤0,∴a≥1.
5.C　∵(x-1)f'(x)<0,
∴当x>1时,f'(x)<0,当x<1时,f'(x)>0,
则f(x)在(1,+∞)内单调递减,在(-∞,1)内单调递增,
∴f(0)6.(1,2)　由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-x+3-=-,
令f'(x)>0,解得1故函数f(x)的单调递增区间为(1,2).
7.(-1,1)　f'(x)=(a>0),令f'(x)>0,解得-18.解 (1)∵f(x)=(ax+1)ex,
∴f'(x)=(ax+1+a)ex.
∵曲线f(x)=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2,
∴f'(0)=2,∴(1+a)e0=2,∴a=1.
(2)由(1)得f(x)=(x+1)ex,f'(x)=(x+2)ex,
∴令f'(x)<0,则x∈(-∞,-2),
令f'(x)>0,则x∈(-2,+∞),
∴当x∈(-∞,-2)时,f(x)单调递减;
当x∈(-2,+∞)时,f(x)单调递增.
9.解 (1)对f(x)求导得f'(x)=,
由曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,
知f'(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由(1)知f(x)=-ln x-1,x>0,
则f'(x)=,
令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.
因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.
当x∈(0,5)时,f'(x)<0,
故f(x)在(0,5)内单调递减;
当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,
故f(x)在(5,+∞)内单调递增.
所以f(x)的单调递增区间为(5,+∞),单调递减区间为(0,5).
10.A　由f'(x)=3x2-3k,已知函数f(x)的单调递减区间是(-1,1),
故-1,1是3x2-3k=0的两根,-1×1=-k,解得k=1,故选A.
11.D　由题意得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0),
∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间,
∴f'(x)有两个不同的零点,
∴解得0因此,实数a的取值范围是(0,3).
故选D.
12.B　f(x)的定义域为R,f(-x)=-x3-2x+2sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数,
又因为f'(x)=3x2+2-2cos x≥0恒成立(当且仅当x=0时等号成立),
所以f(x)在R上单调递增.
由f(a)+f(1-2a)>0得f(a)>f(2a-1),
所以a>2a-1,解得a<1,故选B.
13.D　由f(x)的导函数图象可知,f(x)在(a,b),(c,e)内单调递增,在(b,c)内单调递减,所以f(a)f(0)>f(c),B,C错误;f(c)14.A　构造函数g(x)=,其中x∈,则g'(x)=<0,
所以函数g(x)在内单调递减,
因为x∈,则cos x>0,由f(x)<2fcos x可得,
即g(x)因此,不等式f(x)<2fcos x的解集为.故选A.
15.　f(x)=2ax-,则f'(x)=2a+.
∵f(x)在(0,1]上单调递增,
∴f'(x)≥0,即a≥-在x∈(0,1]上恒成立,即a≥,设g(x)=-,g(x)在(0,1]上单调递增,
∴g(x)max=g(1)=-.∴a≥-.
当a=-时,f'(x)=-1+对x∈(0,1]有f'(x)≥0,当且仅当x=1时,f'(x)=0.
∴当a=-时,f(x)在(0,1]上单调递增.
∴a的取值范围是.
16.　定义在(-π,π)上的函数f(x)=xcos(x+φ)-cos x(0<φ<π)为偶函数,
则f(-x)=-xcos(-x+φ)-cos(-x)=-xcos(x-φ)-cos x=f(x)=xcos(x+φ)-cos x,
即-cos(x-φ)=cos(x+φ),即cos xcos φ=0.
∴cos φ=0.∵0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=-xsin x-cos x,x∈(-π,π),f'(x)=-xcos x.
令f'(x)=-xcos x<0,x∈(-π,π),
解得x∈,
故f(x)的单调递减区间为.
17.解 (1)当a=-时,
f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1),
f'(x)=-x+=-(x>-1).
当f'(x)>0时,解得-1当f'(x)<0时,解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞).
(2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)内为减函数,
所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1,+∞)恒成立,
即a≤-对任意x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=-,则g'(x)=.
因为在区间[1,+∞)内g'(x)>0,
所以g(x)在区间[1,+∞)内单调递增,
故g(x)在区间[1,+∞)内的最小值g(x)min=g(1)=-,故a≤-.
即实数a的取值范围为-∞,-.
18.解(1)∵f(x)=(ax2-x-1)ex,
∴f'(x)=(2ax-1)ex+(ax2-x-1)ex=[ax2+(2a-1)x-2]ex,∴f'(0)=-2.
又f(0)=-1,∴y+1=-2x.
∴所求切线方程为2x+y+1=0.
(2)由题意知,函数f(x)的定义域为R,
由(1)知f'(x)=[ax2+(2a-1)x-2]ex,
∴f'(x)=(ax-1)(x+2)ex,易知ex>0,
①当a>0时,令f'(x)>0,解得x<-2或x>;
令f'(x)<0,解得-2②当-0,解得-2.
③当a=-时,f'(x)≤0.
④当a<-时,>-2,令f'(x)>0,解得-2或x<-2.
综上,当a<-时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(-∞,-2);
当a=-时,函数f(x)在R上单调递减;
当-当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,(-∞,-2),单调递减区间为.
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