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2025北师大版数学选择性必修第二册
6.3　函数的最值
A级必备知识基础练
1.[探究点一(角度2)]已知函数f(x)=ex-x,则函数f(x)的最小值为(　　)
A. B.1 C.e-1 D.e
2.[探究点一(角度1)]函数f(x)=xe-x在[0,4]上的最大值为(　　)
A.0 B. C. D.
3.[探究点一(角度1)]“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下,运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车,进而达到燃脂目的的运动,由于其操作简单,燃脂性强,受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v(单位:km/h)随时间t(单位:h)变换的函数关系为v(t)=+15,t∈,则该单车爱好者骑行速度的最大值为(　　)
A.+15 B.+15 C.+15 D.+15
4.[探究点一(角度2)](多选题)函数f(x)=在区间(0,+∞)内(　　)
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.函数f(x)存在唯一的零点
D.函数f(x)存在唯一的极值点
5.[探究点一(角度1)]函数f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是　　　　　,最小值是　　　　　.
6.[探究点三]已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是　　　　　　　　　.
7.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),且f'(-1)=f'(3)=0.
(1)求a-b的值;
(2)若函数f(x)在[-2,2]上的最大值为20,求函数f(x)在[-1,4]上的最小值.
8.[探究点二]已知函数f(x)=xln x-2x,求:
(1)函数f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)在区间[1,a]上的最小值.
B级关键能力提升练
9.已知函数f(x)=(x-1)ex-kx3+1,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2),则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
10.已知函数f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若 x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-e,+∞) B.(-∞,-e]
C. D.
11.已知函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R),若对任意x∈,都有xf'(x)>f(x)成立,则a的取值范围为(　　)
A. B.
C.(-∞,) D.(-∞,3)
12.函数f(x)=ex+sin x-x-1在区间[-π,+∞)内的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知x=1为函数f(x)=ln x+2x+的极值点,则f(x)在区间上的最大值为(　　)(注:ln 2≈0.69)
A.3 B.7-ln 2
C.5 D.+ln 2
14.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2,1]都成立,则实数a的取值范围是　　　　　　.
15.已知函数f(x)=,x∈[1,3],且 x1,x2∈[1,3],x1≠x2,<2恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　　.
16.已知函数f(x)=xln x.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对任意x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.
17.已知函数f(x)=x+aln x+1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-a+1,求实数a的值.
C级学科素养创新练
18.设函数y=f(x)在(a,b)内的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)内,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)内为“凸函数”.已知当m≤2时,f(x)=x3-mx2+2x+2在(-1,2)内是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)内(　　)
A.既没有最大值,也没有最小值
B.既有最大值,也有最小值
C.有最大值,没有最小值
D.没有最大值,有最小值
参考答案
6.3　函数的最值
1.B　函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,可得x=0.
当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
故f(x)min=f(0)=e0-0=1.
故选B.
2.B　f'(x)=,令f'(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)的最大值为f(1)=.
3.C　因为v(t)=+15,t∈,
所以v'(t)=,所以当t∈时,v'(t)>0,当t∈(1,2]时,v'(t)<0,
所以v(t)在内单调递增,在(1,2]上单调递减,
所以v(t)max=v(1)=+15.故选C.
4.BD　由f(x)=(x>0),得f'(x)=,令f'(x)=0,则x=1.
所以在(1,+∞)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(0,1)内,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)min=f(1)=e>0,无最大值,不存在零点.
所以f(x)存在唯一的极值点.
故选BD.
5.2　-2　f'(x)=,
令f'(x)=0,得x1=-1,x2=1,
且f(-2)=-,f(-1)=-2,f(1)=2,f(2)=,
∴f(x)max=2,f(x)min=-2.
6.(-∞,2ln 2-2]　由题意知方程ex-2x+a=0有根,
即方程a=2x-ex有根,设g(x)=2x-ex,
则令g'(x)=2-ex=0,解得x=ln 2.
∴g(x)在(-∞,ln 2)内单调递增,
在(ln 2,+∞)内单调递减,
∴g(x)max=2ln 2-eln 2=2ln 2-2,∴a≤2ln 2-2.
7.解(1)由题意可得f'(x)=-3x2+2ax+b,
因为f'(-1)=f'(3)=0,
所以f'(-1)=-3-2a+b=0,f'(3)=-27+6a+b=0,
由解得
所以a-b=-6.
(2)由(1)可得函数f(x)=-x3+3x2+9x+c,
则f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),
令f'(x)<0,可得x<-1或x>3;
令f'(x)>0,可得-1所以函数f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在(-1,3)内单调递增,在(3,+∞)内单调递减.
因为f(-2)=2+c,f(2)=22+c,f(-2)所以当x∈[-2,2]时,f(x)max=f(2)=22+c=20,
解得c=-2,所以f(x)=-x3+3x2+9x-2,
所以f(-1)=-7,f(4)=18,f(-1)所以当x∈[-1,4]时,f(x)min=f(-1)=-7.
8.解(1)由题设,f'(x)=ln x-1,x>0,
令f'(x)>0,解得x>e,
令f'(x)<0,解得0∴f(x)的单调递减区间为(0,e),单调递增区间为(e,+∞).
(2)由(1)知,当1当a>e时,f(x)在区间[1,e)内单调递减,在区间[e,a]上单调递增,
∴f(x)min=f(e)=eln e-2e=-e.
9.B　由x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)得(x1-x2)f(x1)>(x1-x2)f(x2),
不妨设x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则f(x1)>f(x2),问题等价于函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,故f'(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,
f'(x)=xex-3kx2≥0,则3k≤在(0,+∞)内恒成立,
令g(x)=,∴g'(x)=,则当x>1时,g'(x)>0,当0故g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,故g(x)在x=1处取得极小值也是最小值,故3k≤g(1)=e,解得k≤,故选B.
10.C　 x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,
则f(x)min≤g(x)max,由题得f'(x)=ex+xex=(x+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-1,
所以函数f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在(-1,+∞)内单调递增,
所以f(x)min=f(-1)=-,g(x)max=g(-1)=a,
∴a≥-.故选C.
11.C　对函数f(x)=xln x+x(x-a)2(a∈R)求导,得f'(x)=1+ln x+(x-a)2+2x(x-a),
由 x∈,xf'(x)>f(x),可得x[1+ln x+(x-a)2+2x(x-a)]>xln x+x(x-a)2,
则对 x∈,都有2a<2x+,
∵2x+≥2=2,
当且仅当2x=,即x=时,等号成立,
∴2a<2,解得a<.
∴a的取值范围是(-∞,).
故选C.
12.B　f'(x)=ex+cos x-1,
记g(x)=f'(x),则g'(x)=ex-sin x,
当x∈[-π,0]时,ex>0,sin x≤0,则ex-sin x>0,
当x∈(0,+∞)时,ex>1,sin x∈[-1,1],则ex-sin x>0,
所以在[-π,+∞)内,ex>sin x,所以g'(x)>0,所以f'(x)单调递增,
因为f'+cos-1=-1<0,f'(0)=e0+cos 0-1=1+1-1>0,
所以必存在x0∈[-π,0)使得f'(x0)=0,
于是f(x)在(-π,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,
又因为f(0)=0,f(-π)=e-π+sin(-π)+π-1=+π-1>0,
所以在区间(-π,x0)内必存在一个零点.
综上,函数f(x)在区间[-π,+∞)内有两个零点.故选B.
13.B　f'(x)=+2-,由于x=1是f(x)的极值点,
所以f'(1)=1+2-a=3-a=0,a=3,
此时f'(x)=+2-(x>0),
所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以x=1是f(x)的极小值点,a=3符合题意.
f=ln+1+6=7-ln 2,f(2)=ln 2+4+=ln 2+,
由于7-ln 2≈7-0.69=6.31,ln 2+≈0.69+5.5=6.19,
所以f(x)在区间上的最大值为7-ln 2.故选B.
14.(-∞,-15]　设f(x)=4x3+4x2+1,x∈[-2,1],则f'(x)=12x2+8x,令f'(x)=0,得x=0或x=-.所以在区间-2,-内,f'(x)>0,f(x)单调递增,在区间-,0内,f'(x)<0,f(x)单调递减,在区间(0,1)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此在闭区间[-2,1]上,函数f(x)在x=-处取得极大值f-,在x=0处函数取得极小值f(0),且f(0)=1,f(1)=9,f(-2)=-15,所以f(-2)=-15是最小值,所以实数a≤-15.
15.-∞,　设x1>x2,<2可化为f(x1)-2x1可得函数g(x)=f(x)-2x=-2x在x∈[1,3]上单调递减,
∴g'(x)=-2≤0在x∈[1,3]上恒成立,
当x=1时,g'(x)=-2<0,满足题意,
则a≤在x∈(1,3]上恒成立,
令h(x)=,x∈(1,3],
则h'(x)=<0在x∈(1,3]上恒成立,
∴函数h(x)在x∈(1,3]上单调递减,∴a≤h(3)=.
则实数a的取值范围是-∞,.
16.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ln x,
令f'(x)>0,解得x>,
令f'(x)<0,解得0所以当x=时,f(x)取得最小值,最小值为f=-.
(2)依题意知,f(x)≥ax-1在[1,+∞)内恒成立,
即不等式a≤ln x+对于x∈[1,+∞)恒成立.
令g(x)=ln x+,则g'(x)=,
当x≥1时,g'(x)≥0,故g(x)在[1,+∞)内单调递增,所以g(x)的最小值是g(1)=1.
因此a≤g(x)min=g(1)=1,故a的取值范围为(-∞,1].
17.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+.
当a≥0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)内单调递增,无极值;
当a<0时,令f'(x)>0,解得x>-a,令f'(x)<0,解得x<-a,
所以f(x)的单调递增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a),
此时f(x)有极小值f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.
(2)f'(x)=1+,x∈[1,e],
由f'(x)=0得x=-a,
①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=-a+1,
即2=-a+1,解得a=-1,符合条件.
②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上单调递减,
∴f(x)min=f(e)=-a+1,
即e+a+1=-a+1,则a=-,不符合条件.
③若-e当1当-a0,f(x)在(-a,e)内单调递增,
∴f(x)min=f(-a)=-a+1,
即-a+aln(-a)+1=-a+1,
则a=0或a=-1,均不符合条件.
综上所述,a=-1.
18.A　f'(x)=x2-mx+2,f″(x)=x-m;
∵函数f(x)在(-1,2)内是“凸函数”,
∴f″(x)=x-m<0在(-1,2)内恒成立,
∴m>x在(-1,2)内恒成立,
∴m≥2,又m≤2,∴m=2.
∴f'(x)=x2-2x+2=(x-2)2>0,所以f(x)在(-1,2)内单调递增,所以该函数在该区间上既没有最大值,也没有最小值.
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