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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.1　导数概念及其意义
1.1.1　函数的平均变化率
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=2x,g(x)=x2在[0,2]上的平均变化率分别记为m1,m2,则下列结论正确的是(　　)
A.m1=m2 B.m1>m2
C.m2>m1 D.m1,m2的大小无法确定
2.[2024甘肃酒泉高二期末]函数f(x)=2x3-1在区间[-1,1]上的平均变化率为(　　)
A.2 B.1 C.-2 D.-1
3.[2024甘肃武威高二期中]函数f(x)=x3在区间[-1,1]上的平均变化率为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
4. 汽车行驶的位移s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为,则三者的大小关系为(　　)
A. B.
C. D.
5.物体甲、乙在时间0到t1范围内,路程的变化情况如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.在0到t0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度
6.已知a>1,函数f(x)=ln x,则下面结论正确的有　　　　　.(填上所有正确结论的序号)
①函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率总是大于1;
②函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率总是小于1;
③函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率随着a的增大而增大;
④函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率随着a的增大而减小.
7.蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T(t)=+15,其中T(t)为体温(单位:℃),t为太阳落山后的时间(单位:min).
(1)从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了多少
(2)从t=0到t=10,蜥蜴的体温的平均变化率是多少 它具有什么实际意义
B级 关键能力提升练
8.已知函数y=f(x)的定义域为R,而且函数y=f(x)在任意区间内的平均变化率比函数y=2x+1在同一区间的平均变化率都大,则f(3)-f(2)与2的大小关系是(　　)
A.f(3)-f(2)>2
B.f(3)-f(2)<2
C.f(3)-f(2)≥2
D.f(3)-f(2)≤2
9.(多选题)为了评估某药物的治疗效果,现有关部门对该药物在人体血液中的药物浓度进行了测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c(单位:mg/mL)随时间t(单位:h)的变化而变化,甲、乙两人服用该药物后,血液中药物浓度随时间t变化的关系如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.在t1时刻,甲、乙两人血液中的药物浓度相同
B.在[0,t1]这个时间段内,甲、乙两人血液中药物浓度的平均变化率相同
C.在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血液中药物浓度的平均变化率相同
D.在[t1,t2]和[t2,t3]两个时间段内,甲血液中药物浓度的平均变化率相同
10.试写出满足下列条件的一个函数y=f(x):若[a,b]是y=f(x)的定义域的任意子区间,且y=f(x)在区间[a,b]内的平均变化率均为正;函数y=f(x)在定义域内不是增函数.这个函数可以是　　　　　(写出一个即可).
C级 学科素养创新练
11.(多选题)国家环保部门要求相关企业加强污水治理,污水排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示,则下列四个结论正确的是(　　)
A.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]这段时间的污水治理能力最强
B.在[0,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标
D.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强
12.求正弦函数y=sin x在区间[0,Δx]和[+Δx](0<Δx<)上的平均变化率,并比较它们的大小.
1.1.1　函数的平均变化率
1.A　m1==2,m2==2,故m1=m2.故选A.
2.A　 函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为=2,
所以函数f(x)=2x3-1在区间[-1,1]上的平均变化率为2.故选A.
3.C　 函数f(x)=x3在区间[-1,1]上的平均变化率为=1.故选C.
4.B　设直线O'A,AB,BC的斜率分别为kO'A,kAB,kBC,则=kO'A,=kAB,=kBC,由题图知kBC>kAB>kO'A,即.
5.C　在0到t0范围内,甲、乙的平均速度都为,故A,B错误;在t0到t1范围内,甲的平均速度为,乙的平均速度为,因为s2-s0>s1-s0,t1-t0>0,所以,故C正确,D错误.
6.②④　函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率为=ln(a+1)-ln a=ln=ln(1+).
因为a>1,所以ln(1+)又当a>1时,1+随着a的增大而减小,ln(1+)随着1+的减小而减小,
所以平均变化率随着a的增大而减小,所以③错误,④正确.
故答案为②④.
7.解(1)在t=0和t=10时,蜥蜴的体温分别为T(0)=+15=39(℃),T(10)=+15=23(℃),
故从t=0到t=10,蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率为=-=-1.6.
它表示从t=0到t=10,蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.
8.A　由于函数y=2x+1在任意区间内的平均变化率为2,又因为函数y=f(x)在任意区间内的平均变化率比函数y=2x+1在同一区间的平均变化率都大,所以函数y=f(x)在区间[2,3]内的平均变化率大于2,所以>2,即f(3)-f(2)>2.故选A.
9.AC　在t1时刻,两曲线交于同一点,说明此时甲、乙两人血液中的药物浓度相同,A正确;在t1时刻,甲、乙两人血液中药物浓度相同,但在t0时刻,甲血液中的药物浓度高于乙血液中的药物浓度,因此在[0,t1]这个时间段内,甲、乙两人血液中药物浓度的平均变化率不相同,B错误;在t2,t3两个时刻,甲、乙两人血液中药物浓度相同,因此在[t2,t3]这个时间段内,甲、乙两人血液中药物浓度的平均变化率相同,C正确;
在[t1,t2]和[t2,t3]两个时间段内,时间差差不多,但甲血液中药物浓度差前者小于后者,则药物浓度的平均变化率不相同,D错误.故选AC.
10.f(x)=-　依题意,函数在整个定义域上不是增函数,但是在定义域的任意子区间[a,b]上单调递增,所以函数的定义域应该是断开的.例如f(x)=-,f(x)=等.
11.BCD　对于A,在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]三段时间中,在[0,t1]中平均变化率最大且都小于0,∴-在[0,t1]最小,∴甲企业在[0,t1]这段时间的污水治理能力最弱,A错误;对于B,在[0,t2]这段时间内,甲企业的平均变化率要小于乙企业的平均变化率且都小于0,∴-在[0,t2]这段时间中,甲企业更大,∴甲企业在[0,t2]这段时间中的污水治理能力比乙企业强,B正确;对于C,在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都位于污水达标排放量以下,均达标,C正确;对于D,在[t1,t2]这段时间内,甲企业的平均变化率要小于乙企业的平均变化率且都小于0,∴-在[t1,t2]这段时间中,甲企业更大,∴甲企业在[t1,t2]这段时间中的污水治理能力比乙企业强,D正确.故选BCD.
12.解正弦函数y=sin x在区间[0,Δx]上的平均变化率为k1=,正弦函数y=sin x在区间[+Δx](0<Δx<)上的平均变化率为k2=.
由于0<Δx<,所以k1=>0,k2=<0,故k1>k2.
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