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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.1.2　瞬时变化率与导数
A级 必备知识基础练
1.某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+3表示,则该物体在t=2 s时的瞬时速度为(　　)
A.0 m/s B.2 m/s C.3 m/s D.4 m/s
2.若f(x0)-f(x0-d)=2x0d+d2,下列选项正确的是(　　)
A.f'(x)=2 B.f'(x)=2x0
C.f'(x0)=2x0 D.f'(x0)=d+2x0
3.函数f(x)=在x=处的瞬时变化率为(　　)
A.-1 B.-1+d
C. D.3
4.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s(t)=-4t2+16t,此物体在某一时刻的速度为零,则相应的时刻为(　　)
A.t=1 B.t=2
C.t=3 D.t=4
5.已知函数f(x)=x3,则f(x)在x=1处的瞬时变化率为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知函数f(x)=在x=1处的导数为-2,则实数a的值是　　　　　.
7.圆的面积在半径为2时的瞬时变化率为　　　　　,这一瞬时变化率的实际意义是　　　　　　　　　　　.
8.求函数y=+x在x=1处的导数.
9.某物体的运动位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.
B级 关键能力提升练
10.火车开出车站一段时间内,速度v(单位:米/秒)与行驶时间t(单位:秒)之间的关系是v(t)=0.4t+0.6t2,当火车的加速度为2.8米/秒时,t=(　　)
A.秒 B.2秒 C.秒 D.秒
11.已知函数f(x)可导,且满足当d→0时,→2 022,则函数y=f(x)在x=3处的导数为(　　)
A.-2 021 B.-2 022
C.2 021 D.2 022
12.已知函数f(x)在x=x0处可导,若d→0时,→6,则f'(x0)=(　　)
A.6 B.12 C.3 D.2
13.球的体积在半径r=3时的瞬时变化率为　　　　　,这一瞬时变化率的实际意义是　.
14.如图所示,水波的半径以1 m/s的速度向外扩张,当半径为5 m时,该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是　　　　m2/s.
15.已知函数f(x)=求f'(4)·f'(-1)的值.
C级 学科素养创新练
16.某质点的位移函数是s(t)=2t3-gt2(其中g≈10 m/s2).当t=2 s时,求它的速度v(t)对t的瞬时变化率(即加速度).
1.1.2　瞬时变化率与导数
1.D　该物体在时间段[2,2+d]内的平均速度为=4+d,当d无限趋近于0时,4+d无限趋近于4,即该物体在t=2 s时的瞬时速度为4 m/s.故选D.
2.C　由于当d→0时,=d+2x0→2x0,所以f'(x0)=2x0.
3.A　由.
当d→0时,→-1.故选A.
4.B　因为=
=
=16-8t-4d,当d→0时,16-8t-4d→16-8t,因为某时刻的瞬时速度为零,令16-8t=0,解得t=2.
5.C　函数f(x)=x3在[1,1+d]上的平均变化率为=d2+3d+3.
当d→0时,d2+3d+3→3,因此f(x)在x=1处的瞬时变化率为3.故选C.
6.2　.当d→0时,→-a,∴f'(1)=-a.由题意知-a=-2,∴a=2.
7.4π　半径为2时,圆的周长为4π　圆的面积公式为S=πr2,当半径r从2变到2+d时的平均变化率为=4π+πd,当d→0时,4π+πd→4π,所以当r=2时,圆的面积的瞬时变化率为4π,这一瞬时变化率的实际意义为半径为2时,圆的周长为4π.
8.解令f(x)=y=+x,因为f(1+d)-f(1)=+(1+d)-(1+1)=+d-1,
所以+1,
当d→0时,+1→.
即函数y=+x在x=1处的导数为.
9.解由s(t)=t2+t+1可知=2t+d+1,
当d→0时,2t+d+1→2t+1,即s'(t)=2t+1.当t=1时,s'(1)=3.所以物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s.
10.B　由题意可知=
=0.4+0.6d+1.2t.
当d→0时,→0.4+1.2t.因此v'(t)=0.4+1.2t,令0.4+1.2t=2.8,得t=2(秒).故选B.
11.B　由于当d→0时,
=-→-f'(3),
所以-f'(3)=2 022,所以f'(3)=-2 022.故选B.
12.D　由于
=
=2×
=2[]+[],
由题意,根据导数的定义可知当d→0时,2[]+[]→3f'(x0)=6,
所以f'(x0)=2.故选D.
13.36π　r=3时,球的表面积为36π　球的体积公式为V(r)=πr3,
(27+9d+d2).
当d→0时,→36π,这一瞬时变化率的实际意义为r=3时,球的表面积为36π.
14.10π　因水波的半径以v=1 m/s的速度向外扩张,则t s 时的水波半径r=vt=t(m),水波面的圆面积S=πr2=πt2,
于是水波面的圆面积在t0时的平均膨胀率为=2πt0+πd,当d→0时,2πt0+πd→2πt0,即S'(t0)=2πt0.当半径为5 m,即t0=5 s时,2π×5=10π,所以该水波面的圆面积的瞬时膨胀率为10π m2/s.
15.解当x=4时,f(4+d)-f(4)=-.
所以.
当d→0时,.
所以f'(4)=.
当x=-1时,
==d-2,
当d→0时,d-2→-2,所以f'(-1)=-2.
所以f'(4) ×f'(-1)=×(-2)=-.
16.解由s(t)=2t3-gt2可知=6t2+6td+2d2-gt-gd.当d→0时,→6t2-gt,即s'(t)=6t2-gt,所以v(t)=6t2-gt.因为=12t-g+6d,当d→0时,→12t-g,所以v'(t)=12t-g,所以v'(2)≈12×2-10=14(m/s2).
即该质点的速度v(t)对t的瞬时变化率约为14 m/s2.
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