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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.1.3　导数的几何意义
A级 必备知识基础练
1.已知y=f(x)的图象如图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　)
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)C.f'(xA)=f'(xB)
D.不能确定
2.(多选题)已知函数f(x)满足f(1)=5,f'(1)=-5,则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　)
A.f(x)的图象在x=1处的切线斜率大于0
B.f(x)的图象在x=1处的切线斜率小于0
C.f(x)的图象在x=1处位于x轴上方
D.f(x)的图象在x=1处位于x轴下方
3曲线f(x)=+1在点(0,f(0))处的切线方程为(　　)
A.y=3x+1 B.y=2x+1
C.y=x+1 D.y=x+1
4.已知曲线f(x)=x2-ax在点(1,f(1))处的切线斜率是3,则实数a=　　　　　.
5.已知曲线f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为　　　　　.
6.若曲线y=f(x)=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,求P点坐标及切线方程.
7.已知曲线C:f(x)=2x2+1,求过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程.
B级 关键能力提升练
8. 如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=(　　)
A. B.1 C.2 D.0
9. 已知函数f(x)在R上有导函数,f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是(　　)
A.f'(a)B.f'(b)C.f'(a)D.f'(c)10.如果曲线f(x)=在点P(x0,y0)处的切线斜率是,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为　　　　　.
11.设函数f(x)=ax+在点(,f())处的切线方程为2x-3y+2=0,则f(x)的解析式为　　　　　.
12.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,则a的值为　　　　　.
13.若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,则点P的坐标为　　　　　.
14.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.
C级 学科素养创新练
15.已知曲线C:f(x)=x3.
(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程,并判断该切线与曲线是否还有其他公共点.
(2)求曲线C过点P(1,1)的切线方程.
1.1.3　导数的几何意义
1.B　由导数的几何意义,f'(xA),f'(xB)分别是曲线在点A,B处的切线的斜率,由图象可知f'(xA)2.BC　f'(1)=-5<0,则f(x)的图象在x=1处的切线斜率小于0;又f(1)=5>0,所以f(x)的图象在x=1处位于x轴上方.
3.A　,当d→0,→2,又f(0)=1,故在(0,f(0))处的切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.故选A.
4.-1　=d+2-a,当d→0,d+2-a→2-a,因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,所以f'(1)=2-a=3,得a=-1.
5.(3,30)　设点P(x0,2+4x0),因为=4x0+4+2d,所以,当d→0时,4x0+4+2d→4x0+4.又切线的斜率为16,所以4x0+4=16,得x0=3.所以点P的坐标为(3,30).
6.解设P点坐标为(x0,y0),由=d2+3x0d-3d+3-6x0,当d→0时,f'(x0)=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即9x-y-26=0或9x-y+6=0.
7.解 设切点P0(x0,y0),则=4x0+2d.
当d→0时,f'(x0)=4x0.
故曲线C在点P0处的切线l的方程为y-y0=4x0·(x-x0),即l:y-y0=4x0x-4.
又点P0在曲线C上,
∴y0=2+1,∴y-2-1=4x0x-4.
∵切线l过点P(0,0),∴-2-1=-4,
即2=1,∴x0=±.
当x0=-时,切线l的方程为y-2×-1=4×x-4×,即y=-2x;
当x0=时,切线l的方程为y-2×-1=4×x-4×,即y=2x.
故过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程为y=-2x或y=2x.
8.C　∵函数y=f(x)的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.
9. A　如图,分别作曲线在点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))处的切线l1,l2,l3,设切线的斜率分别为k1,k2,k3,易知k1f'(b)10.x-2y+1=0　.当d→0时,,由,解得x0=1.
由x0=1,可知y0=1,因此曲线f(x)=在点P(x0,y0)处的切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.
11.f(x)=x+　函数f(x)=ax+在点P(x0,f(x0))与Q(x0+d,f(x0+d))两点的斜率为kPQ==a-.当d→0时,kPQ→a-,即f'(x0)=a-.
函数f(x)=ax+在点(,f())处的切线方程为2x-3y+2=0,则f'()=,f()=,
即解得
则该函数的解析式为f(x)=x+.
12.　设切点为P(x0,y0),则由=2ax0+ad,当d→0时,2ax0+ad→2ax0,即2ax0=1.又y0=a,x0-y0-1=0,联立以上三式,得解得a=.
13.,1　设P(x0,y0),则=8x0+4d.当d→0时,8x0+4d→8x0.由点P到直线y=4x-5的距离最短,得抛物线y=4x2在点P处的切线与直线y=4x-5平行,即8x0=4,
由故所求点P的坐标为,1.
14.解因为=2ax+ad,当d→0时,2ax+ad→2ax,所以f'(1)=2a,
即切线斜率k1=2a.
因为=3x2+3xd+d2+b,当d→0时,3x2+3xd+d2+b→3x2+b,
即g'(x)=3x2+b.
所以g'(1)=3+b,即切线的斜率k2=3+b.
因为在交点(1,c)处有公切线,所以2a=3+b. ①
又因为c=a+1,c=1+b,所以a+1=1+b,即a=b. ②
将②代入①,得
15.解(1)由=3+3d+d2.
可知当d→0时,3+3d+d2→3.所以k=f'(1)=3.
所以曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
由解得
从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),
即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一公共点(-2,-8).
(2)设切点为Q(x0,y0),由=3+3x0d+d2.
可知当d→0时,3+3x0d+d2→3,即f'(x0)=3.
当x0=1时,切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x-y-2=0.当x0≠1时,由题意可知kPQ=f'(x0),所以=3,又f(x0)=,所以=3,即2-x0-1=0,
解得x0=1(舍去)或x0=-.
当x0=-时,切点坐标为-,-,3,相应的切线方程为y+x+,即3x-4y+1=0.
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