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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.2.2　函数的和差积商求导法则
A级 必备知识基础练
1.[2024甘肃武威高二月考]函数f(x)=2sin x+cos x的导函数是(　　)
A.f'(x)=2cos x-sin x
B.f'(x)=2cos x+sin x
C.f'(x)=-2cos x+sin x
D.f'(x)=-2cos x-sin x
2.已知某物体的运动位移(单位:m)的方程是y=+t,则当t=2 s时的瞬时速度是(　　)
A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s
3.已知f(x)=xln x,若f'(x0)=2,则x0等于(　　)
A.e2 B.e C. D.ln 2
4.若函数f(x)=ax2+bcos x+c满足f'(2)=2,则f'(-2)=(　　)
A.-1 B.-2 C.0 D.1
5.[2024甘肃庆阳高三模拟]已知函数f(x)=2f'(3)x-x2+ln x(f'(x)是f(x)的导函数),则f(1)= (　　)
A.- B.- C. D.
6.已知曲线y=f(x)经过点A(1,3),且f'(1)=5,请写出一个符合条件的函数解析式:f(x)=　.
7.已知函数f(x)=ax3-ax+b,f(1)=2,f'(1)=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程.
B级 关键能力提升练
8.若函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2f'(2)x+m(m∈R),则(　　)
A.f(0)C.f(0)>f(5) D.以上答案都不对
9.若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2-1,且f(1)=1,则f'(1)+g'(1)=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.曲线y=ln x+1在(1,1)处的切线也为y=ex+a的切线,则a=(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.2
11.(多选题)已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0.若g(x)=xf(x),则下列各式一定成立的是(　　)
A.f(1)=1 B.f'(1)=1
C.f(x)=x2+ D.g'(1)=
12.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=,则h'(5)=　　　　　.
13.已知函数f(x)的解析式唯一,且满足xf'(x)+f(x)=ex,f(1)=2e,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　　　　　.
14.在①f(x)是三次函数,且f(0)=3,f'(0)=0,f'(1)=-3,f'(2)=0,②f(x)是二次函数,且x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1这两个条件中任选一个作为已知条件,并回答下列问题.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)的图象在x=1处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
C级 学科素养创新练
15.(多选题)若定义n!=1×2×3×…×n(n∈N*),已知f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20),下列结论正确的是(　　)
A.f'(0)=20! B.f'(1)=19!
C.f'(19)=-19! D.f'(20)=-20!
1.2.2　函数的和差积商求导法则
1.A　根据导数的四则运算可知,函数f(x)=2sin x+cos x的导数为f'(x)=2cos x-sin x.故选A.
2.C　y=+t的导数y'=1-,则当t=2时,y'=1-,所以当t=2 s时的瞬时速度为 m/s.
3.B　f'(x)=(xln x)'=x'ln x+x(ln x)'=ln x+1.
因为f'(x0)=2,所以ln x0+1=2,解得x0=e.故选B.
4.B　∵f(x)=ax2+bcos x+c,
∴f'(x)=2ax-bsin x,
∴f'(x)为奇函数,
∴f'(2)+f'(-2)=0,∴f'(-2)=-2.故选B.
5.D　因为f(x)=2f'(3)x-x2+ln x,所以f'(x)=2f'(3)-x+,则f'(3)=2f'(3)-,解得f'(3)=1,所以f(x)=2x-x2+ln x,则f(1)=2-+ln 1=.故选D.
6.x2+(答案不唯一)　可设f(x)=ax2+b,则f'(x)=2ax,又f'(1)=5,所以a=.又曲线y=f(x)经过点A(1,3),则a+b=3,所以b=.
7.解(1)由f(x)=ax3-ax+b求导,得f'(x)=3ax2-a,又f(1)=2,f'(1)=2,则解得a=1,b=2,
所以f(x)的解析式为f(x)=x3-x+2.
(2)由(1)得f'(x)=3x2-1,则f'(-1)=2,f(-1)=2,
所以f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0,
所以f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程是2x-y+4=0.
8.C　∵f(x)=x2+2f'(2)x+m,
∴f'(x)=2x+2f'(2).
∴f'(2)=2×2+2f'(2),∴f'(2)=-4,∴f(x)=x2-8x+m.由于函数的图象为开口向上的抛物线,其对称轴为直线x=4,∴f(0)>f(5).故选C.
9.C　∵f(1)=1,∴f(1)+g(1)=0,∴g(1)=-1.
∵f(x)+xg(x)=x2-1,
∴f'(x)+g(x)+xg'(x)=2x.
∴f'(1)+g(1)+g'(1)=2,
∴f'(1)+g'(1)=2-(-1)=3.
故选C.
10.C　由y=ln x+1的导数为y'=,则曲线y=ln x+1在(1,1)处的切线斜率为1,切线方程为y=x,设直线y=x与曲线y=ex+a相切的切点为(t,et+a),由y=ex+a求导得y'=ex,于是得解得所以a=-1.故选C.
11.AD　对A,由题知,点(1,f(1))在x-2y+1=0上,所以f(1)=1,故A正确;
函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,所以f'(1)=,故B错误;
f(x)=x2+,虽然满足f(1)=1,f'(1)=,但该函数只是一种特殊情况,该函数还可以为f(x)=,也满足f(1)=1,f'(1)=,故C错误;
由题得g'(x)=f(x)+xf'(x),所以g'(1)=f(1)+f'(1)=1+,故D正确.故选AD.
12.　∵h(x)=,
∴h'(x)=,
由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)=.
13.y=-ex+3e　令x=1,由xf'(x)+f(x)=ex,得f'(1)+f(1)=e,又f(1)=2e,所以f'(1)=-e.
故所求切线方程为y-2e=-e(x-1),即y=-ex+3e.
14.解若选①,
(1)依题意,设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f'(x)=3ax2+2bx+c,
由已知得解得
所以函数f(x)的解析式是f(x)=x3-3x2+3.
(2)由(1)知,f'(1)=-3,f(1)=1,则切线l的方程为y-1=-3(x-1),当x=0时,y=4,当y=0时,x=,
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=×4×.
若选②,
(1)依题意,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,于是得x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,化简得(a-b)x2+(b-2c)x+c=1,因为上式对任意x都成立,所以解得a=2,b=2,c=1,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2x2+2x+1.
(2)由(1)知,f'(x)=4x+2,则f'(1)=6,又f(1)=5,则切线l的方程为y-5=6(x-1),
当x=0时,y=-1,当y=0时,x=,
所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=×1=.
15.AC　∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=x[(x-1)(x-2)…(x-20)],
∴f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-20)+x[(x-1)(x-2)(x-3)…(x-20)]',
∴f'(0)=(-1)×(-2)×…×(-20)=20!,故A正确.
f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=(x-1)[x(x-2)(x-3)…(x-20)],
∴f'(x)=x(x-2)(x-3)…(x-20)+(x-1)·[x(x-2)(x-3)…(x-20)]',
∴f'(1)=1×(-1)×(-2)×…×(-19)=-19!,故B错误;
同理由f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=(x-19)·[x(x-1)(x-2)…(x-18)(x-20)]=(x-20)[x(x-1)(x-2)…(x-19)],易得f'(19)=-19!,f'(20)=20!,故C正确,D错误.故选AC.
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