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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.2　导数的运算
1.2.1　几个基本函数的导数
A级 必备知识基础练
1.一质点的运动方程为s=cos t,则t=1时质点的瞬时速度为(　　)
A.2cos 1 B.-sin 1 C.sin 1 D.cos 1
2.设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=x2+2xf'(1),则f'(1)=(　　)
A.0 B.4 C.-2 D.2
3.若f(x)=x5,f'(x0)=20,则x0的值为(　　)
A. B.± C.-2 D.±2
4.已知函数f(x)=sin x,f'(x)是函数f(x)的导函数,则f'=(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.
5.[2024河北保定高三月考]已知函数f(x)在R上可导,且f(2x+3)=4x2-1,则f'(1)=　　　　　.
6.已知函数f(x)=若f'(a)=12,则实数a的值为　　　　　.
7.[人教B版教材例题]已知f(x)=,求f'(4)以及曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线的方程.
B级 关键能力提升练
8.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)
A.y=sin x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x3
9.(多选题)已知函数f(x)的导数为f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中有“巧值点”的是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=ln x D.f(x)=tan x
10.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　　.
11.直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b=　　　　　.
12.不与x轴重合的直线l与曲线y=x3与y=x2均相切,则l的斜率为　　　　　.
13.已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求:
(1)与直线PQ平行且与曲线y=x2相切的直线方程.
(2)曲线y=x2上是否存在与直线PQ垂直的切线 若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
C级 学科素养创新练
14.已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,试求k的值.
15.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在x轴上方抛物线弧OA上求一点P,使△ABP的面积最大.
1.2.1　几个基本函数的导数
1.B　s'=-sin t,当t=1时,s'=-sin 1,所以当t=1时质点的瞬时速度为-sin 1.
2.C　由f(x)=x2+2xf'(1) f'(x)=2x+2f'(1),令x=1得f'(1)=2×1+2f'(1),解得f'(1)=-2.故选C.
3.B　函数的导数f'(x)=5x4,∵f'(x0)=20,∴5=20,得=4,因此x0=±.故选B.
4.A　因为f'(x)=cos x,所以f'=cos=0.故选A.
5.-4　令t=2x+3,则x=,则f(t)=t2-6t+8,即f(x)=x2-6x+8,f'(x)=2x-6,所以f'(1)=-4.
6.或-2　f'(x)=若f'(a)=12,则解得a=或a=-2.
7.解因为f'(x)=,
所以f'(4)=×2=3.
又因为f(4)==(22=23=8,所以所求切线方程为y-8=3(x-4),即y=3x-4.
8.A　对函数y=sin x求导,得y'=cos x,当x=0时,该点处切线l1的斜率k1=1,当x=π时,该点处切线l2的斜率k2=-1,∵k1·k2=-1,∴l1⊥l2;对函数y=ln x求导,得y'=恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=ex求导,得y'=ex恒大于0,斜率之积不可能为-1;对函数y=x3求导,得y'=3x2恒大于等于0,斜率之积不可能为-1.故选A.
9. ABC　对于A,f'(x)=2x,令x2=2x,得x=0或x=2,有“巧值点”;对于B,f'(x)=-,令=-,得x=-1,有“巧值点”;对于C,f'(x)=,令ln x=,结合y=ln x,y=的图象,知方程ln x=有解,有“巧值点”;对于D,f'(x)=,令tan x=,即,得sin 2x=2,无解,无“巧值点”.故选ABC.
10.(1,1)　y=ex的导数为y'=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率为k1=e0=1.
设P(m,n),y=(x>0)的导数为y'=-(x>0),
曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率为k2=-(m>0).因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).
11.ln 2-1　设切点坐标为(x0,y0),则y0=ln x0.
因为y'=(ln x)'=,由题意知,所以x0=2,y0=ln 2.由ln 2=×2+b,得b=ln 2-1.
12.　设直线l与曲线y=f(x)=x3相切的切点坐标为(x0,),f'(x)=3x2,则f'(x0)=3,则切线方程为y=3x-2.因为不与x轴重合的直线l与曲线y=x3与y=x2均相切,联立得x2-3x+2=0.其中Δ=9-8=0,得x0=0(舍去)或x0=,所以l的斜率为3.
13.解(1)因为y'=(x2)'=2x,设切点为M(x0,y0),
则y'=2x0.
因为直线PQ的斜率为k==1,且切线平行于直线PQ,所以k=2x0=1,即x0=,所以切点为M().
所以所求的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0.
(2)假设存在与直线PQ垂直的切线,
因为PQ的斜率为1,所以与PQ垂直的切线斜率为-1.
设切点为(x0',y0'),则y'=2x0',
令2x0'=-1,则x0'=-,y0'=,
切线方程为y-=-(x+),即4x+4y+1=0.
14.解设直线y=kx与曲线y=ln x相切时的切点坐标为(x0,y0).
∵y=ln x,∴y'=,∴当x=x0时,y'==k.
∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,
∴
把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式得x0=e.
∴k=.
15.解 (方法一)因为|AB|为定值,所以要使△PAB的面积最大,只要点P到直线AB的距离最大,即只要点P是抛物线弧OA上平行于AB的切线的切点即可.
设P(x,y),由题意知,点P在x轴上方,
所以y=(x>0),所以y'= .
因为kAB=,所以,x=1.
由y2=x(y>0),得y=1,所以点P的坐标为(1,1).
(方法二)设P,因为|AB|为定值,所以要使△PAB的面积最大,只要使点P到直线AB:x-2y-4=0的距离最大即可.设点P到直线AB的距离为d,则d=|(y0-1)2-5|.
联立消去x,解得y=1±.y0∈(0,1+).
所以当y0=1时,d最大,此时△PAB的面积最大,
所以点P的坐标为(1,1).
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