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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.2.3　简单复合函数的求导
A级 必备知识基础练
1.下列求导运算正确的是(　　)
A.()'= B.(x2+ex)'=2x-ex
C.(xcos x)'=-sin x D.(x-)'=1+
2.已知函数f(x)=cos 2x,那么f'()的值为(　　)
A.- B.
C. D.-
3.已知f(x)=x2ln 2x,若f'(x0)=x0,则x0等于(　　)
A. B.e
C.ln 2 D.1
4.已知直线y=x-1与曲线y=ex+a相切,则实数a的值为(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
5.(多选题)下列求导正确的是(　　)
A.若y=cos,则y'=-sin
B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2
C.若y=cos 5x,则y'=-5sin 5x
D.若y=xsin 2x,则y'=xcos 2x
6.(多选题)以下函数求导正确的是(　　)
A.若f(x)=,则f'(x)=
B.若f(x)=e2x,则f'(x)=e2x
C.若f(x)=,则f'(x)=
D.若f(x)=cos(2x-),则f'(x)=-sin(2x-)
7.已知函数f(x)=ex+ln(2x+1),e是自然对数的底数,设函数f(x)的导函数为f'(x),则f'(0)=　　　　　,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为　　　　　　　.
8.求下列函数的导数:
(1)y=ln(ex+x2);
(2)y=102x+3;
(3)y=;
(4)y=sin 2xcos 3x.
B级 关键能力提升练
9.已知函数f(x)在R上可导,函数F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),则F'(2)等于(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.已知点P为函数f(x)=e2x的图象上一点,则点P到直线l:y=2x的距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.
11.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0为初始时刻该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　)
A.20天 B.30天
C.45天 D.60天
12.(多选题)已知函数f(x)在x=1处的导数为-,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)=-x2+ln x
B.f(x)=xex
C.f(x)=sin(2x+)
D.f(x)=
13.设函数f(x)=g(2x-1)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　　　　.
14.已知函数y=e2x+4-ln(2x+5).
(1)求该函数的导数;
(2)求该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角.
C级 学科素养创新练
15.已知函数f(x)=asin 3x+bx3+3(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)=(　　)
A.0 B.2 022
C.2 023 D.6
16.已知向量a=,b=,令f(x)=a·b,是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f'(x)=0(其中f'(x)是f(x)的导函数) 若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
1.2.3　简单复合函数的求导
1.D　'=,故A错误;
(x2+ex)'=2x+ex,故B错误;
(xcos x)'=cos x-xsin x,故C错误;
x-'=1+,故D正确.故选D.
2.D　∵f(x)=cos 2x,∴f'(x)=-2sin 2x,
∴f'()=-2sin=-.故选D.
3.A　因为f(x)=x2ln 2x,所以f'(x)=2xln 2x+x,
又f'(x0)=x0,所以2x0ln 2x0=0,因为x0>0,所以ln 2x0=0,所以x0=.故选A.
4.A　设切点为(x0,y0),易知y'=ex+a,则解得故选A.
5.BC　若y=cos,则y'=sin,故A错误;
若y=sin x2,则y'=2xcos x2,故B正确;
若y=cos 5x,则y'=-5sin 5x,故C正确;
若y=xsin 2x,则y'=sin 2x+xcos 2x,故D错误.
故选BC.
6.AC　对于A,f'(x)=,故A正确;
对于B,f'(x)=e2x·2=2e2x,故B错误;
对于C,f'(x)=[(2x-1]'=·(2x-1·2=(2x-1,故C正确;
对于D,f'(x)=(-sin(2x-))·2=-2sin(2x-),故D错误.
故选AC.
7.3　y=3x+1　因为f(x)=ex+ln(2x+1),则f'(x)=ex+,所以f'(0)=3.
因此曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
8.解(1)令u=ex+x2,则y=ln u.
∴yx'=yu'·ux'=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=.
(2)令u=2x+3,则y=10u,∴yx'=yu'·ux'=10u·ln 10·(2x+3)'=2ln 10·102x+3.
(3)设y=,u=1-x2,则yx'=yu'·ux'=()'(1-x2)'=-·(-2x)=x(1-x2.
(4)∵y=sin 2xcos 3x,∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x.
9.B　∵F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),
∴F'(x)=2xf'(x2-4)-2xf'(4-x2),
∴F'(2)=4f'(0)-4f'(0)=0.故选B.
10.A　设直线m平行于直线l,则直线m的斜率为2,
当直线m与函数f(x)的图象相切,P为切点时,点P到直线l:y=2x的距离最小,设切点坐标为(x0,y0),因为f'(x)=2e2x,则f'(x0)=2=2,解得x0=0,又点(x0,y0)在函数f(x)=e2x的图象上,则y0==1,则切点坐标为(0,1),到直线l:2x-y=0的距离d=,则点P到直线l:y=2x的距离的最小值为.故选A.
11.D　由P(t)=P0,得P'(t)=-·P0·ln 2,因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,即P'(15)=-P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·.当该放射性同位素含量为4.5贝克时,即P(t)=4.5,所以18·=4.5,即,所以-=-2,解得t=60.故选D.
12.AD　对于A,f'(x)=-x+,f'(1)=-1+=-,故A满足题意;
对于B,f'(x)=ex+xex,f'(1)=2e,故B不满足题意;
对于C,f'(x)=2cos(2x+),f'(1)≠-,故C不满足题意;
对于D,f'(x)=-,f'(1)=-1+=-,故D满足题意.故选AD.
13.6x-y-2=0　把x=1代入y=2x+1,解得y=3,即g(1)=3,由y=2x+1的斜率为2,得到g'(1)=2.
∵f'(x)=2g'(2x-1)+2x,
∴f'(1)=2g'(1)+2=6,即所求切线的斜率为6.
又f(1)=g(1)+1=4,即切点坐标为(1,4),则所求切线的方程为y-4=6(x-1),即6x-y-2=0.
14.解(1)∵y=e2x+4-ln(2x+5),
∴y'=e2x+4×(2x+4)'-×(2x+5)'=e2x+4×2-×2=e2x+4-.
(2)由(1),知y'=e2x+4-,
所以当x=-2时,y'=e-2×2+4-=1-2=-1.
设该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为α,
则tan α=-1.又α∈[0,π),所以α=,所以该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为.
15.D　依题意,f(x)的定义域为R,令g(x)=asin 3x+bx3,则g(-x)=asin 3(-x)+b(-x)3=-g(x),即g(x)是奇函数,有g(2 022)+g(-2 022)=0,则f(2 022)+f(-2 022)=g(2 022)+3+g(-2 022)+3=6.又f'(x)=3acos 3x+3bx2,且有f'(-x)=3acos 3(-x)+3b(-x)2=f'(x),即f'(x)是偶函数,f'(2 023)-f'(-2 023)=0,所以f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)=6.故选D.
16.解存在.f(x)=a·b=2cossin+tantan=2cossincos)+=2sincos+2cos2-1=sin x+cos x.
令f(x)+f'(x)=0,即f(x)+f'(x)=sin x+cos x+cos x-sin x=2cos x=0.
可得x=+kπ(k为整数).
因为x∈[0,π],所以x=,
即存在实数x=∈[0,π],使得f(x)+f'(x)=0.
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