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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.3　导数在研究函数中的应用
1.3.1　函数的单调性与导数
A级 必备知识基础练
1.[2024甘肃兰州高三模拟]已知函数f(x)的定义域为R,f(2+x)=f(-x),f(4)=0且f(x)在[1,+∞)恒有f'(x)>0成立,则xf(x-1)>0的解集为(　　)
A.(-2,0)∪(4,+∞)
B.(-∞,-1)∪(5,+∞)
C.(-∞,-2)∪(4,+∞)
D.(-1,0)∪(5,+∞)
2.已知定义在R上的函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e)
C.f(c)>f(e)>f(d) D.f(c)>f(b)>f(a)
3.设a=,b=,c=,则(　　)
A.aC.b4.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是　　　　　.
5.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间[1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.
6.[北师大版教材习题]讨论下列函数的单调性,并画出大致图象.
(1)y=(x-1)ex;
(2)y=x+.
B级 关键能力提升练
7.函数y=xcos x-sin x在下列哪个区间内单调递增 (　　)
A.() B.(-)
C.(π,2π) D.(0,π)
8.[2024内蒙古赤峰高三开学考试]函数y=(|x|+1)ln|x|的图象大致为(　　)
9.(多选题)下列函数在定义域上为增函数的有(　　)
A.f(x)=2x4
B.f(x)=xex
C.f(x)=x-cos x
D.f(x)=ex-e-x-2x
10.已知函数f(x)=4x+2sin x,则不等式f(x-2)+f(1-2x)<0的解集是(　　)
A.{x|x<1}
B.{x|x<-1}
C.{x|x>1}
D.{x|x>-1}
11.已知a∈R,则“a≤3”是“f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.已知定义在(-π,π)上的函数f(x)=xcos(x+φ)-cos x(0<φ<π)为偶函数,则f(x)的单调递减区间为　.
13.已知函数f(x)=aex-x,g(x)=x-aln x(a∈R).
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论g(x)的单调性.
C级 学科素养创新练
14.已知a=ln,b=,c=,则(　　)
A.b>a>c B.b>c>a
C.a>b>c D.c>b>a
1.3.1　函数的单调性与导数
1.D　因为f(2+x)=f(-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,因为f(x)在[1,+∞)恒有f'(x)>0成立,所以函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,由对称性可得函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,又f(4)=0,所以f(-2)=0,故当-24或x<-2时,f(x)>0.
2.D　由函数的导数的图象可知函数f(x)在区间(-∞,c)上单调递增,在区间(c,e)上单调递减,在区间(e,+∞)上单调递增.由a3.D　a-b=,因为e2<2.722<8①,故ln 8-ln e2>0,故a-b>0,即a>b;令f(x)=,f'(x)=,易知当x>e时,f'(x)<0,f(x)在(e,+∞)上单调递减,又a==f(4),c==f(),结合①式可知4>>e,故f(4)4.(0,+∞)　若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则y'=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b>0.
5.解因为函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间[1,+∞)上单调递增,
所以f'(x)=6x2-6mx+6≥0在区间[1,+∞)上恒成立,所以m≤x+在区间[1,+∞)上恒成立,因为y=x+在区间[1,+∞)上单调递增,所以m≤1+1=2.
故实数m的取值范围为(-∞,2].
6.解(1)y'=(x-1)'ex+(x-1)(ex)'=ex+(x-1)ex=xex.
由y'>0得x>0,由y'<0得x<0,因此,函数y=(x-1)ex在区间(0,+∞)内单调递增;在区间(-∞,0)内单调递减.
大致图象如图①.
图①
图②
(2)y'=1+>0,x>-2,因此,函数y=x+在区间(-2,+∞)内单调递增.大致图象如图②.
7.C　∵y=xcos x-sin x,
∴y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
当x∈(,π)时,sin x>0,y'<0,函数单调递减,故A错误;当x∈(-,0)时,sin x<0,y'<0,函数单调递减,故B错误;当x∈(π,2π)时,sin x<0,y'>0,函数单调递增,故C正确;当x∈(0,π)时,sin x>0,y'<0,函数单调递减,故D错误.故选C.
8.B　因为函数y=(|x|+1)ln|x|的定义域为{x|x≠0},且(|-x|+1)ln|-x|=(|x|+1)ln|x|,所以函数y=(|x|+1)ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称,故排除A;
当0又当x>0时,y'=ln x+1+,记f(x)=ln x+1+,则f'(x)=,令f'(x)>0得x>1,令f'(x)<0得00,即y'=ln x+1+>0,所以当x>0时,y=(x+1)ln x在区间(0,+∞)上单调递增.故选B.
9.CD　函数f(x)=2x4的定义域为R,其导数为f'(x)=8x3,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域R上不是增函数;函数f(x)=xex的定义域为R,其导数为f'(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f'(x)<0,当x>-1时,f'(x)>0,所以f(x)在定义域R上不是增函数;函数f(x)=x-cos x的定义域为R,其导数为f'(x)=1+sin x≥0,所以f(x)在定义域R上是增函数;函数f(x)=ex-e-x-2x的定义域为R,其导数为f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)在定义域R上是增函数.故选CD.
10.D　由题意,x∈R,f(-x)=-4x-2sin x=-f(x),即函数f(x)为奇函数,又f'(x)=4+2cos x>0,所以函数f(x)在R上是增函数.又不等式等价于f(x-2)<-f(1-2x)=f(2x-1),所以x-2<2x-1 x>-1,即不等式的解集为{x|x>-1}.故选D.
11.A　当f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增时,f'(x)=+2x-a≥0在(0,+∞)内恒成立,而+2x≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立.所以a≤4,记作B=(-∞,4],令A=(-∞,3],因为A B,所以“a≤3”是“f(x)=2ln x+x2-ax在(0,+∞)内单调递增”的充分不必要条件,故选A.
12.(-π,-)和0,)　定义在(-π,π)上的函数f(x)=xcos(x+φ)-cos x(0<φ<π)为偶函数,则f(-x)=-xcos(-x+φ)-cos(-x)=-(xcos(x-φ)-cos x=f(x)=xcos(x+φ)-cos x,
即-cos(x-φ)=cos(x+φ),
∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=-xsin x-cos x,x∈(-π,π),f'(x)=-xcos x,令f'(x)=-xcos x<0,x∈(-π,π),
解得x∈(-π,-)和(0,),故f(x)的单调递减区间为(-π,-)和(0,).
13.解(1)若a=1,f(x)=ex-x,f'(x)=ex-1,故f(0)=1,f'(0)=0,故f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)g'(x)=1-(x>0),
当a≤0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当a>0时,令g'(x)=0,得x=a,
当0当x>a时,g'(x)>0,
故g(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,g(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
14.A　易知b==c.
当0ln(x+1),故b=>ln=a.再令f(x)=ln(x+1)-,00,则f(x)在(0,1)上单调递增,所以f()>f(0)=0,即ln>0,即a>c.所以b>a>c.故选A.
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