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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.3.2　函数的极值与导数
A级 必备知识基础练
1.函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极大值-3,则a+b的值等于(　　)
A.9 B.6 C.3 D.2
2.已知f(x)=,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
B.f(x)在(-∞,1)上单调递减
C.f(x)有极大值,无极小值
D.f(x)有极小值,无极大值
3.下列函数存在极值的是(　　)
A.f(x)=
B.f(x)=x-ex
C.f(x)=x3+x2+2x-3
D.f(x)=2x3
4.已知x=2是函数f(x)=2x3+ax2+36x-24的一个驻点,则该函数的一个单调递增区间是(　　)
A.(2,3) B.(3,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,3)
5.如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是(　　)
A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增
B.在区间(1,3)上f(x)单调递减
C.当x=4时,f(x)取极大值
D.在区间(4,5)上f(x)单调递增
6.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是(　　)
A.0≤a≤21
B.a=0或a=7
C.a<0或a>21
D.a=0或a=21
7.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是　　　　　.
8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)求函数的另一个极值.
B级 关键能力提升练
9.(多选题)[2024甘肃张掖高二期中]已知函数f(x)=ln x-ax2,a∈R,则下列结论中错误的有(　　)
A.f(x)一定有极大值
B.当a>0时,f(x)有极小值
C.当a<0时,f(x)可能无零点
D.若f(x)在区间(0,1)上单调递增,则a≤
10.若x=1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex的一个极值点,则f(x)的极大值为(　　)
A.-e B.e-1 C.e2 D.5e-2
11.若函数f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2)∪(2,+∞)
B.(0,2)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.{2}
12.关于函数f(x)=sin x-xcos x,给出下列四个结论:
①f(x)是奇函数;
②0是f(x)的极值点;
③f(x)在区间(-)上有且仅有1个零点;
④f(x)的值域是R.
其中,所有正确结论的序号为　　　　　.
13.[2024甘肃高三月考]已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1),a∈R.
(1)当a=2时,求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若函数f(x)-x在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
C级 学科素养创新练
14.已知函数f(x)的导函数f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是　　　　　.
15.设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
1.3.2　函数的极值与导数
1.B　由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b,因为f(x)在x=1处有极大值-3,所以解得所以a+b=6.故选B.
2.C　由题意f'(x)=,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(1)=是函数的极大值,函数无极小值.故选C.
3.B　A中f'(x)=-,令f'(x)=0,无解,所以A中的函数无极值;B中f'(x)=1-ex,令f'(x)=0,得x=0.当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0.所以y=f(x)在x=0处取得极大值,且极大值f(0)=-1;C中f'(x)=3x2+2x+2,Δ=-20<0.所以y=f(x)无极值;易知D也无极值.故选B.
4.B　因为x=2是函数f(x)=2x3+ax2+36x-24的一个驻点,所以f'(2)=0,即24+4a+36=0,解得a=-15,所以f'(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),由f'(x)>0,得x<2或x>3.
5.D　
由导函数f'(x)的图象可得,当x∈(-2,xA)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以A错误;
当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以B错误;
当x∈(3,4)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以x=4是函数f(x)的极小值点,f(4)为极小值,所以C错误;
当x∈(4,5)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以D正确.故选D.
6.A　∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R),∴f'(x)=3x2+2ax+7a,∵函数f(x)=x3+ax2+7ax(x∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上,∴f'(x)≥0对x∈R恒成立,∴Δ=4a2-84a≤0,解得0≤a≤21.故选A.
7.(0,)　令y'=3x2-2a=0,易知a>0,所以x=±.又函数在(0,1)内有极小值,
所以0<<1,解得08.解(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,
所以f'(x)=3x2+2ax+b,依题意可得解得经检验满足题意.
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+4,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).
令f'(x)=0得x=-或x=1.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-) - (-,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调 递增 极大 值 单调 递减 极小 值 单调 递增
所以函数的另一个极值在x=-处取得,是极大值,极大值为f(-)=.
9.ABC　由函数f(x)=ln x-ax2,可得f'(x)=-2ax=,x>0,若a≤0,则f'(x)>0恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值,故A错误;
若a>0,令f'(x)>0,解得0令f'(x)<0,解得x>,所以f(x)在区间0,上单调递增,在区间,+∞上单调递减,当x=时,函数f(x)取得极大值,故B错误;
若a<0,由上知f(x)在定义域上单调递增,当x趋近于0时,f(x)趋近于-∞,当x>1时,f(x)>0,故 x0∈(0,1)使得f(x0)=0,故C错误;
若f(x)在区间(0,1)上单调递增,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,满足题意;
当a>0时,满足≥1,即0综上,a≤,故D正确.故选ABC.
10.D　函数f(x)=(x2+ax-1)ex的导数f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]ex,
由f'(1)=0,得a=-1,即f(x)=(x2-x-1)ex,则f'(x)=(x2+x-2)ex.
令f'(x)=(x2+x-2)ex≥0,得x≤-2或x≥1;
令f'(x)=(x2+x-2)ex<0,得-2故f(x)在区间(-∞,-2)上单调递增,在区间(-2,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x=-2时,f(x)取得极大值,当x=1时,f(x)取得极小值,
所以f(x)的极大值为f(-2)=5e-2.故选D.
11.B　因为f(x)=x2-(a+2)x+aln x既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+(x>0),所以f'(x)=0有两个不等的正实数解,所以>0,且≠1,解得a>0,且a≠2.故选B.
12.①③④　因为x∈R,且f(-x)=sin(-x)-(-x)·cos(-x)=-sin x+xcos x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,①正确.f'(x)=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x,f'(0)=0,当x∈(-,0)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-,0)上单调递增,当x∈(0,)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,)上单调递增,所以x=0不是f(x)的极值点,②不正确.
由以上分析知f(x)在区间(-)上单调递增,又f(0)=0,所以函数f(x)在区间(-)上有且仅有1个零点,③正确.函数f(x)在R上连续,当x=2kπ(k∈Z)时,f(2kπ)=sin(2kπ)-2kπcos(2kπ)=-2kπ,
所以f(x)的值域是R,④正确.
13.解(1)当a=2时,f(x)=(x+2)ln(x+1),f'(x)=ln(x+1)+,易知f(0)=0,f'(0)=2,所以f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
(2)令g(x)=f(x)-x=(x+a)ln(x+1)-x.
因为g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则g'(x)=ln(x+1)+-1≥0,即g'(x)=ln(x+1)+≥0在区间(0,+∞)上恒成立,也即a-1≥-(x+1)ln(x+1)在区间(0,+∞)上恒成立,令h(x)=-(x+1)ln(x+1),x>0,则h'(x)=-ln(x+1)-1,显然h'(x)<0在区间(0,+∞)上恒成立,所以可知h(x)=-(x+1)ln(x+1)在区间(0,+∞)上单调递减,h(x)<0.
因此只需满足a-1≥0即可,解得a≥1.
综上,a的取值范围为[1,+∞).
14.(-1,0)　∵f'(x)=a(x+1)(x-a),若a<-1,
则f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符;
若-1∴f(x)在x=a处取得极大值,符合题意;
若a>0,则f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,∴f(x)在x=a处取得极小值,与题意不符.
综上,a的取值范围是(-1,0).
15.解(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,
所以f'(x)=6x2+2ax+b.
从而f'(x)=6+b-,即y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3.
又因为f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.
所以,实数a,b的值分别为3,-12.
(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).
令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.
解得x1=-2,x2=1.
当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内单调递增;当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内单调递增;从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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