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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值
A级 必备知识基础练
1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-]∪[,+∞)
B.[-]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-)
2.若函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a∈(-∞,0] B.a∈(-∞,1)
C.a∈(-∞,2) D.a∈-∞,
3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是 (　　)
A.-37 B.-29
C.-5 D.以上都不对
4.函数f(x)=-cos x在-,π上的最小值为 (　　)
A.- B.+1
C.-1 D.-
5.(多选题)已知函数f(x)=x(x-3)2,若f(a)=f(b)=f(c),其中aA.1B.a+b+c=6
C.2D.abc的取值范围是(0,4)
6.已知函数f(x)=x3-x2+18x-2.
(1)求f(x)的极值;
(2)求f(x)在区间[1,4]上的最大值与最小值.
B级 关键能力提升练
7.已知函数f(x)=x3+x2+c有3个不同的零点,则c的取值范围是(　　)
A.-,0
B.-∞,-∪(0,+∞)
C.-,0
D.-∞,-∪(0,+∞)
8.若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,+∞)
B.(-3,+∞)
C.(-3,0)
D.[-3,0]
9.(多选题)函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则(　　)
A.函数在区间[-2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得
B.x=2为f(x)的极小值点
C.f(x)在,2上是单调递减的
D.f(-2)是f(x)的最小值
10.(多选题)已知函数f(x)=+bx+,b∈R,下列说法正确的是(　　)
A.当b<0时,函数f(x)有两个极值点
B.当b<0时,函数f(x)在(0,+∞)上有最小值
C.当b=-2时,函数f(x)有三个零点
D.当b>0时,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增
11.若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)上有最大值,则实数a的取值范围是　　　　　.
12.已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.
C级 学科素养创新练
13.若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.
1.3.3　三次函数的性质:单调区间和极值
1.B　f'(x)=-3x2+2ax-1,由题意可知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,
∴Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-≤a≤.
2.A　f'(x)=3ax2-1.
因为函数f(x)在R上是减函数,所以f'(x)=3ax2-1≤0恒成立,所以a≤0.故选A.
3.A　因为f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),令f'(x)=0,则x1=0,x2=2,当x∈[-2,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,所以f(x)在[-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,所以当x=0时,f(0)=m最大,所以m=3.因为f(-2)=-37,f(2)=-5,所以f(x)的最小值为-37.
4.D　∵f(x)=-cos x,
∴f'(x)=+sin x.
令f'(x)=0,则x=-.
当x∈-,-时,f'(x)<0,x∈-,π时,f'(x)>0,故f(x)在-,-上单调递减,在-,π上单调递增,故f(x)min=f-=--cos-=-.故选D.
5.BCD　由f(x)=x(x-3)2,则f'(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),令f'(x)=0,解得x=1或x=3,当x<1或x>3时,f'(x)>0,此时f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞);
当1设f(a)=f(b)=f(c)=t,则0又f(x)-t=x(x-3)2-t=(x-a)(x-b)(x-c),即x3-6x2+9x-t=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc,所以a+b+c=6,abc=t∈(0,4),故B,D正确;
又36.解(1)∵f(x)=x3-x2+18x-2,
∴f'(x)=3x2-15x+18=3(x-3)(x-2),
x (-∞,2) 2 (2,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 递增↗ 极大值12 递减↘ 极小值11.5 递增↗
故f(x)的极大值是f(2)=12,极小值是f(3)=11.5.
(2)由(1)知:
x [1,2) 2 (2,3) 3 (3,4]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 递增↗ 极大值12 递减↘ 极小值11.5 递增↗
又f(1)=9.5,f(4)=14,将它们与极值比较可得,函数f(x)在区间[1,4]上的最大值为14,最小值为9.5.
7.A　由条件得f'(x)=x2+3x=x(x+3),令f'(x)>0,可得x∈(-∞,-3)∪(0,+∞),令f'(x)<0,可得x∈(-3,0),因此函数f(x)在(-∞,-3)和(0,+∞)上单调递增,在(-3,0)上单调递减,又f(-3)=+c,f(0)=c,要使f(x)有3个不同的零点,则所以-8.D　∵f(x)=-x3-3x2+1,
∴f'(x)=-3x2-6x,
令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 递减↘ 极小值 递增↗ 极大值 递减↘
由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.
当x>0时,f(x)f(-3)=1.
又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,
∴a的取值范围为[-3,0].故选D.
9.ABC　由导函数f'(x)的图象可知函数f(x)在区间[-2,0]上是单调递增的,因此在区间[-2,0]上的最大值、最小值均在端点处取得,故A正确;f(x)在-2,和(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)和,2上单调递减,且x=2为f(x)的极小值点,故B和C均正确;
f(-2)是函数f(x)的极小值,但不一定是最小值,故D错误.故选ABC.
10.ABD　因为f(x)=+bx+,则f'(x)=x2-x+b.当b<0时,Δ=1-4b>0,即方程f'(x)=0有两个不相等的实根,此时函数f(x)有两个极值点,故A正确;当b<0时,设f'(x)=0有两个不等的实根x1,x2,且x1x2时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增,故函数f(x)在(0,+∞)上有最小值,故B正确;当b=-2时,f(x)=-2x+,则f'(x)=x2-x-2,令f'(x)=0,则x1=-1,x2=2.当x<-1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当-12时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以,函数f(x)的极大值为f(-1)=,极小值为f(2)=0,作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数f(x)只有两个零点,故C错误;
当b>0且x<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,故D正确.故选ABD.
11.(-1,2]　由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增;由f'(x)<0,得-112.解(1)f'(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0,
所以当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,由f'(x)>0,解得x<-或x>,
由f'(x)<0,解得-所以当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),f(x)的单调递减区间为(-).
(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,
所以f'(-1)=3×(-1)2-3a=0.
所以a=1.
所以f(x)=x3-3x-1,f'(x)=3x2-3.
由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1.
由(1)可知f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,
在x=1处取得极小值f(1)=-3.
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合函数f(x)的单调性,可知m的取值范围是(-3,1).
13.解由f'(x)=3x2-a,
①当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.不符合题意.
②当a>0时,令3x2-a=0,得x=±,
当-f(x)在区间内单调递减,即f(x)的单调递减区间为,则=1,即a=3.
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