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2025湘教版数学选择性必修第二册
第1章1.3.4　导数的应用举例
A级 必备知识基础练
　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周,当所得圆柱体积最大时,矩形ABCD的面积为(　　)
A.1 B.
C. D.
2.某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A,B两种小商品.当投资A,B小商品均为x(x≥0)千元时,可获得的收益分别为f(x)千元与g(x)千元,其中f(x)=2x,g(x)=5ln(2x+1).如果该个体户共投入5千元,为使总收益最大,则A商品需投入(　　)
A.4千元 B.3千元 C.2千元 D.1千元
3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为p(p≥20)元,销售量为Q件,销售量Q与零售价p间的关系为Q=8 300-170p-p2,则这批商品的最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为(　　)
A.30 000元 B.60 000元
C.28 000元 D.23 000元
4.已知轮船在河道中航行时每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,当速度为10海里每小时时,燃料费是6元每小时,而其他与速度无关的费用是96元每小时,则当轮船的速度是(　　)时,航行1海里所需的费用总和最小.
A.15 B.20 C.25 D.30
5.(多选题)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒.设方盒的容积为V(x),则下列结论正确的是(　　)
A.V(x)=(a-2x)2x,x∈(0,)
B.V'(x)=12x2-8ax+a2
C.V(x)在区间(0,]上单调递增
D.V(x)在x=时取得最大值
6.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1 200+x2(单位:万元),又知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为　　　　　件时,总利润最大.
7.某地旅行社组织了一个旅游团于近期来到该市国家湿地公园.数据显示,近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)=mln x-x+-6(4≤x≤22,m∈R),其中x为每天的时刻,若早上6点时,测得空气质量指数为29.6.
(1)求实数m的值;
(2)求近期每天时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值:ln 6≈1.8)
B级 关键能力提升练
8.[2024甘肃天水高二月考]从商业化书店到公益性城市书房,再到“会呼吸的文化森林”——图书馆,建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声,现有一块不规则的地,其平面图形如图1所示,AC=8(单位:百米),建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB看成函数f(x)=k(k≠0)图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分,若在此地块上建立一座图书馆,平面图为直角梯形CDEF(如图2),则图书馆占地面积(单位:万平方米)的最大值为(　　)
A.2 B. C. D.
9.(多选题)水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量V(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)=
该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期,以i-1A.一年中有6个月是枯水期
B.一年内该水库的蓄水量在4月到10月之间一直增加
C.该水库的蓄水量最大的月份是8月份
D.该水库的最大蓄水量为8e2+50
10. 如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为3,正四棱柱的高为1,则该几何体的体积的最大值为　　　　　.
11.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元.
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
12.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为O,半径为100 m,并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点,过点A作l的垂线,垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化,设△ABM的面积为S(单位:m2),∠AON=θ(单位:弧度).
(1)将S表示为θ的函数;
(2)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积.
C级 学科素养创新练
13.某旅游用品商店经销某纪念品,每件产品的成本为5元,并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收,预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时,一年的销售量为(x-18)2万件.
(1)求该商店一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关系式;
(2)求出L的最大值Q(a).
14.某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告宣传.经调查,每投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t2+5t(单位:百万元)(0≤t≤5).
(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大
(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告宣传和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),可增加的销售额约为-x3+x2+3x(单位:百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入资金)
1.3.4　导数的应用举例
1.D　设BC=x(0由V'(x)>0,得02.B　设B商品的投入资金为x千元(0≤x≤5),则A商品的投入资金为(5-x)千元,
记获得的总收益为S(x)千元,由题意可得S(x)=2(5-x)+5ln(2x+1)=5ln(2x+1)-2x+10(0≤x≤5),故S'(x)=-2.
当0≤x<2时,S'(x)>0,函数S(x)在[0,2)上单调递增;
当2所以当x=2时,函数S(x)取得极大值,也是最大值,最大值为S(2)=6+5ln 5,
所以当B商品的投入资金为2千元,A商品的投入资金为3千元时,总收益最大.
故选B.
3.D　设毛利润为L(p),由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,其中p≥20,所以L'(p)=-3p2-300p+11 700.
令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时L(30)=23 000.
当20≤p<30时,L'(p)>0,当p>30时,L'(p)<0,
所以L(30)是极大值,L(30)也是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.故选D.
4.B　设速度为v海里每小时的燃料费是p元每小时,
因为每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,所以可设p=k·v3,其中k≠0,
因为当速度为10海里每小时时,燃料费是6元每小时,所以k==0.006,所以p=0.006v3.
设轮船的速度为v海里每小时,航行1海里所需的总费用为y元,
则每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,航行1海里所需的时间为,
航行1海里所需的总费用y=(0.006v3+96)=0.006v2+(v>0),
y'=0.012v-(v3-8 000),当0当v>20时,y'>0.故当v=20时,y取得最小值.
故选B.
5.ABD　由题意V(x)=(a-2x)2x,0V'(x)=-4(a-2x)x+(a-2x)2=12x2-8ax+a2,
当00,当故选ABD.
6.225　设产品单价为m,因为产品单价的平方与产品件数x成反比,所以m2=(k≠0),又生产100件这样的产品单价为50万元,所以502=,
故k=250 000,记生产x件产品时,总利润为f(x),
所以f(x)=mx-C(x)=500-1 200-x2,x>0,则f'(x)=x,由f'(x)>0,得0225,故函数f(x)在(0,225)上单调递增,在(225,+∞)上单调递减,因此当x=225时,f(x)取得极大值,也是最大值.
即产量定为225件时,总利润最大.
7.解(1)由f(6)=29.6,知29.6=mln 6-6+-6,解得m=12.
(2)由已知函数求导,得f'(x)=+600=(12-x).
令f'(x)=0,得x=12.
当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表所示:
x [4,12) 12 (12,22]
f'(x) + 0 -
f(x) 递增↗ 极大值 递减↘
所以函数在x=12时取极大值也是最大值,即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时.
8.D　因为AC=8,故C(8,0),由题意B(4,4),直线BC的方程为,即y=-x+8,
将B(4,4)代入f(x)=k得,f(4)=k=4,得k=2,所以f(x)=2,
因为点F在直线BC上,可设F(8-t,t)(0因为点E在f(x)=2上,故E,t,D,0,
所以|EF|=8-t-,|CD|=8-,|DE|=t,
直角梯形CDEF的面积S=(|EF|+|CD|)×|DE|=8-t-+8-t,
即S=-+8t(0令S'>0得-4令S'<0得t<-4或t>,又0故当t=时,S取得最大值,故选D.
9.ACD　依题意,当00,解得t<4或t>10,而00,当810.　设正四棱锥的高为h,则0则正四棱锥的底面对角线长为a,
由勾股定理可得h2+a2=32,可得a2=2(9-h2),
则S=2(9-h2).
该几何体的体积V=Sh+S×1=Sh+1=2(9-h2)h+1.
令函数f(h)=2(9-h2)h+1=(3-h)(3+h)2,
则f'(h)=-(3+h)2+(3-h)(3+h)=-2(h-1)(h+3).
当00,当1故f(h)max=f(1)=2×(9-1)×+1=.
因此,该几何体的体积的最大值为.
11.解(1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2(元),
∴蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
由题意得200πrh+160πr2=12 000π,
∴h=(300-4r2).
从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
由h>0,且r>0,可得0故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)由(1)知V(r)=(300r-4r3),
故V'(r)=(300-12r2),
令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).
当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上单调递增;
当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上单调递减.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
12.解(1)如题图,BM=AOsin θ=100sin θ,AB=MO+AOcos θ=100+100cos θ,θ∈(0,π),
则S=MB·AB=×100sin θ×(100+100cos θ)=5 000(sin θ+sin θcos θ),θ∈(0,π).
(2)S'=5 000(2cos2θ+cos θ-1)=5 000(2cos θ-1)·(cos θ+1).
令S'=0,得cos θ=或cos θ=-1(舍去),此时θ=.
当θ变化时,S',S的变化情况如下表:
θ (0,) (,π)
S' + 0 -
S 单调递增 极大值 单调递减
所以,当θ=时,S取得最大值Smax=3 750 m2,此时AB=150 m,即点A到北京路一边l的距离为150 m.
13.解(1)由题可知,预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17),而每件产品的成本为5元,并且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13),所以商店一年的利润L与售价x的函数关系式为L=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17].
(2)∵L=(x-5-a)(18-x)2,x∈[13,17],
∴L'(x)=(28+2a-3x)(18-x).
令L'=0,解得x=或x=18,
∵10≤a≤13,∴16≤≤18,
∴①当13≤<17,即10≤a<11.5时,
当x∈[13,)时,L'(x)>0,L(x)单调递增,
当x∈(,17)时,L'(x)<0,L(x)单调递减,
∴Lmax=L()=(13-a)3;
②当17≤≤18,即11.5≤a≤13时,L'(x)≥0恒成立,所以L(x)在[13,17]上单调递增,
∴Lmax=L(17)=12-a.
∴Q(a)=
14.解(1)设投入t(单位:百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(单位:百万元),则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0故当t=2时,f(t)取得最大值4百万元,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.
(2)设用于技术改造的资金为x(单位:百万元),则用于广告宣传的资金为(3-x)(单位:百万元)(0≤x≤3),又设由此而获得的收益是g(x),
则有g(x)=+[-(3-x)2+5(3-x)]-3=-x3+4x+3(0≤x≤3).
所以g'(x)=-x2+4.
令g'(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.
又当0≤x<2时,g'(x)>0;当2故g(x)在[0,2)内是增函数,在(2,3]上是减函数.
所以当x=2时,g(x)取得最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告宣传时,该公司由此获得的收益最大.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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