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2025湘教版数学选择性必修第二册
2.1.1　建立空间直角坐标系　2.1.2　空间两点间的距离
A级 必备知识基础练
1.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(3,-2,5)关于xOz平面对称的点的坐标为(　　)
A.(3,2,-5) B.(-3,-2,5)
C.(3,2,5) D.(3,-2,5)
2.已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1,-2,3)关于yOz平面的对称点为B,则|AB|为(　　)
A.2 B.4
C.6 D.以上都不对
3.空间两点A,B的坐标分别为(a,b,c),(-a,-b,c),则A,B两点的位置关系是(　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于z轴对称 D.关于原点对称
4.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z)的坐标满足方程(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1,则点P的轨迹是(　　)
A.圆 B.直线
C.球面 D.线段
5.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以D为原点,以有向直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则(　　)
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3)
C.点A关于直线BC对称的点为(4,10,0)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
6.已知O为原点,B(4,-3,-5),C(0,5,1),则△OBC的边BC上的中线长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.[2024甘肃酒泉高二期末]在空间坐标系中,点A的坐标为(2,-1,-1),点B的坐标为(1,2,0),则A,B两点之间的距离为　　　　　.
8.已知点A(-4,-1,-9),B(-10,1,-6),C(-2,-4,-3),判断△ABC的形状.
B级 关键能力提升练
9.在空间直角坐标系中,一定点P到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是(　　)
A. B. C. D.
10.已知点A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为(　　)
A.3 B.3 C.2 D.2
11.已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点为A(-6,-6,-6),B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,则正方体的体对角线长为(　　)
A.14 B.3
C.5 D.42
12.三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠CBB1=60°,BC1交B1C于点O,AO⊥侧面BB1C1C,且△AB1C为等腰直角三角形.若建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则点A1的坐标为　　　　　.
13.已知点P(x,y,z)满足x2+y2+z2=25,且点Q(3,4,10),则|PQ|的取值范围是　　　　　.
14.如图,已知矩形ABCD中,|AD|=3,|AB|=4.将矩形ABCD沿对角线BD折起,使得平面BCD⊥平面ABD.现以D为原点,有向直线DB作为y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,此时点A恰好在坐标平面xDy内.试求A,C两点的坐标及A,C两点之间的距离.
C级 学科素养创新练
15. 如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-xyz,当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.
2.1.2　空间两点间的距离
1.C　关于xOz平面对称的点,y坐标互为相反数,所以A(3,-2,5)关于xOz平面对称的点的坐标为(3,2,5).故选C.
2.A　空间直角坐标系O -xyz中的点A(1,-2,3)关于yOz平面的对称点为B(-1,-2,3),所以|AB|=2.故选A.
3.C　依题意,点A,B的竖坐标相同,它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数,所以点A,B关于z轴对称.故选C.
4.C　(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1表示点(x,y,z)到点(2,-1,3)的距离的平方为1,它表示以点(2,-1,3)为球心,以1为半径的球面.故选C.
5.ACD　由图形及其已知可得,点B1的坐标为(4,5,3),点C1(0,5,3)关于点B(4,5,0)对称的点为(8,5,-3),点A关于直线BC对称的点为(4,10,0),点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0).因此ACD正确.
6.B　线段BC的中点坐标为=(2,1,-2),
则△OBC的边BC上的中线长为=3.
故选B.
7.　因为点A的坐标为(2,-1,-1),点B的坐标为(1,2,0),
所以|AB|=.
8.解|AB|==7,
|BC|==7,
|AC|==7.
因为|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2,
所以△ABC为等腰直角三角形.
9.A　设P(x,y,z),由题意可知
∴x2+y2+z2=.
∴.故选A.
10.B　|AB|=,当a=-1时,|AB|min==3.故选B.
11.A　依题意,线段AB为正方体的一条体对角线,所以|AB|==14,所以正方体的体对角线长为14.故选A.
12.(-,1,1)　由侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠CBB1=60°,可得OB1=1,OC1=OB=,
又由AO⊥侧面BB1C1C,且△AB1C为等腰直角三角形,可得OA=1,
如图所示,过点A1作A1E⊥平面BCC1B1,垂足为E,连接B1E,C1E,则B1E∥OC1,C1E∥OB1,A1E∥AO,所以A1的坐标为(-,1,1).
13.[10,20]　由x2+y2+z2=25可知,点P(x,y,z)在以原点为球心,半径为5的球面上,因此|PQ|的最大值是|OQ|+5=+5=15+5=20,最小值为|OQ|-5=15-5=10,因此|PQ|的取值范围是[10,20].
14. 解由于平面BCD⊥平面ABD,在平面BCD内,过点C引棱DB的垂线CF,则CF即为平面ABD的垂线,同理,在平面ABD内作棱DB的垂线AE,则AE即为平面BCD的垂线.
易知AE∥x轴,CF∥z轴.
在直角三角形DBC中,由BC=3,CD=4,可得CF=.
因此,DF=.
同理可求AE=,DE=.
从而可得A(,0),C(0,).
因此,AC=.
15.解由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1),当点P是面对角线AB的中点时,P(1,),点Q在面对角线DC上运动,
设点Q(a,1,a),a∈[0,1],则|PQ|=.
所以当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q(,1,).
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